ロルの定理の証明

まず、ロルの定理とは関数 f(x)が閉区間 (a,b)で連続、開区間 (a,b)で微分可能でf(a)=f(b)ならば　f ' (c)=0, a<c<b を満たす実数cが存在する。

証明
(1) f(x) が定数のとき
常にf ' (x) =0 であるから、明らかに定理は成り立つ。
つ
※なぜ成り立つのでしょうか。簡単な例をあげていただきたいのですが。

(2) f(x)が定数ではないとき

f(x)は閉区間(a,b)で連続であるから、最大値、最小値の定理より、この区間で最大値と最小値をもつ。

(i) f(a) = f(b)が最大値をとる点のx座標をcとすると、a<c<bであるから、a<c<bであるから、a<c+⊿x<bを満たす⊿xに対して　f(c+⊿x) ≦　f(c) となる。　
ゆえに、⊿x>0 のときf(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≦　0 　　(1)

⊿x<0 のときf(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≧　0 (2)　

f(x)はx=cで微分可能であるから　lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /⊿x = f ' (c)

(1)より、f ' (c) ≦　0 　　　　
(2)より、f ' (c) ≧　0

したがって　f ' (c) =0

(ii) f(a) = f(b) が最大値であるとき、最小値をとる点をcとすると、a<c<b となる。

(1), (2)からロルの定理は成り立つ。　終


※　(2)の部分に関していえば、cが最大値となるような、a,b間で連続のなめらかな曲線を書くと、f(c+⊿x) < f(c) であることが読み取れるので理解できるのですが、その逆の⊿x>0 のときf(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≦　0 の場合において、f(c+⊿x)　は　c + x の位置は　c の左側　0より、またcが最大値なので、f(c+⊿x) < f(c) には変わりなし。　ただし、⊿x　で割るので、f(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≧　0 となる。といった解釈でよろしいでしょうか。

次に、f(x)はx=cで微分可能であるから　lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /⊿x = f ' (c)
この式は微分係数の定義により導いたと思うのですが、いまいち、この式がぱっと頭にうかびません。　グラフを使ってこの式の導き方を表すことは可能ですか。

お願いします。

No.2 回答者： Yuki3814 回答日時： 2012/02/20 19:09

グラフを忘れました。

No.1 回答者： Yuki3814 回答日時： 2012/02/20 19:05

「xの二乗」は「x^2」と表します。

＞(1) f(x) が定数のとき
＞常にf ' (x) =0 であるから、明らかに定理は成り立つ。
＞※なぜ成り立つのでしょうか。

そもそも微分とは「傾きの関数」です。
例えば f(x) = x^2　を微分するとf'(x)=2x　となりますね。
これにx = 1を代入すると f'(x) = 2となります。
これはf(x)のx=1における傾きが２ということになります。

問題に戻って
f(x)が定数ならば微分した値は０になります。
これはxがどんな値でも傾きが０ということになります。
明らかに、傾きが０（f'(c) ＝　０）となるcは存在します。



＞次に、f(x)はx=cで微分可能であるから　lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /⊿x = f ' (c)
＞この式は微分係数の定義により導いたと思うのですが、いまいち、この式がぱっと頭にうかびません。　
＞グラフを使ってこの式の導き方を表すことは可能ですか。

lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /⊿x = f ' (c) は傾きを求めているだけです。
グラフを見てください
lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /(c+⊿x) - c = f ' (c)と考えてみてください。
Δxは0.00000001くらいだと考えると、x = cでの傾きを求めていることになります。