関数f(x)を単調増加または単調減少とする時、 f(a)=f(b)⇒a=bはどう証明するのでしょうか

関数f(x)を単調増加または単調減少とする時、
f(a)=f(b)⇒a=bはどう証明するのでしょうか？

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/09/12 06:24

対偶を証明します。

対偶「a≠b⇒f(a)≠f(b)」

a≠b より、a>b または a<b
①a>b のとき、
f(x)が単調増加ならば f(a)>f(b)
f(x)が単調減少ならば f(a)<f(b)
いずれにしても、f(a)≠f(b)

②a<b のとき、
f(x)が単調増加ならば f(a)<f(b)
f(x)が単調減少ならば f(a)>f(b)
いずれにしても、f(a)≠f(b)

よって、対偶が真なので、もとの命題も真である。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/11 22:59

狭義単調増加、狭義単調減少なら単射なので、f(a)=f(b)ならば、a=bは自明。

広義単調増加、広義単調減少の場合は命題 f(a)=f(b)ならば、a=b が成立しない。

広義の単調増加は単調非減少（ある区間で一定の場合も含む）のこと。
広義の単調減少は単調非増加（ある区間で一定の場合も含む）のこと。

[広義単調増加、広義単調減少で命題 f(a)=f(b)ならば、a=b が成立しない例]
f(x)=1（定数関数）
xが増えても減っても増加も減少もしない。
よって、f(x)=1は広義の単調増加かつ広義の単調減少となる。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/09/11 22:54

定義を勘違いしていますね。

a<b　の時　f(a)<f(b)であれば、を単調増加関数
a<b　の時　f(a)>f(b)であれば、を単調減少関数　と言います
a<b　の時であって、a=bではないですし、a＝bを証明する必要もないです。