数学の問題を教えてください

5%の食塩水400gに20%の食塩水を混ぜて10%の食塩水を作りたい。20%の食塩水を何g混ぜればよいか。

公務員セミナーの問題なのですが式と答えは載っているのですが式の展開がわかりません

どなたか教えていただけないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/02 00:07

（食塩水の濃度 (％)）＝（食塩の量）/（食塩水の量）×１００

（食塩の量）＝（食塩水の量）×（食塩水の濃度）/１００

の式を使って、問題を解けばいいと思います。


20%の食塩水を xg 混ぜるとすると、
[{400×(5/100)+x×(20/100)}/(400+x)]×100=10
(2000+20x)/(400+x)=10
2000+20x=10(400+x)
2000+20x=4000+10x
10x=2000
x=200
(答)　200g

になります。

No.6 回答者： goo-learner 回答日時： 2015/09/08 23:08

食塩水の問題は、溶質や溶液の質量を使って連立方程式を使う等して解くのが一般的なようですが、問題が簡単な割りに計算がややこしくなりがちです。

一つの便法は、２種類の食塩水を混ぜた結果の濃度が混ぜた量を重みとする重み付き平均になることを利用することです。この問題では、％の差を～で表すと、5％～10％～20％は1:２なので混ぜる食塩水の比は２:１、従って20%の食塩水を200ｇ混ぜればよいです。実用上、最もシンプルで確実な方法です。

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/09/02 09:07

＞5%の食塩水400gに20%の食塩水を混ぜて10%の食塩水を作りたい。

5%の食塩水400gに、食塩は 400(g)×5(%)含まれている。
20%の食塩水に、食塩は[20%食塩水の量]×20(%)含まれている。
10%の食塩水に、食塩は[混合後の食塩水の量]×10(%)含まれている。

　と書かれていることは分かりますか？混合前後で食塩の量は変わらないので、

400(g)×5(%) + [20%食塩水の量]×20(%) = [混合後の食塩水の量]×10(%)
[混合後の食塩水の量] = 400g + [20%食塩水の量] ですので

(文章をそのまま式にする)
400(g)×5(%) + [20%食塩水の量]×20(%) = (400(g) + [20%食塩水の量])×10(%)
(展開)
400(g)×5(%) + [20%食塩水の量]×20(%) = (400(g)×10(%) + [20%食塩水の量]×10(%)
(移項)両辺に　－400(g)×5(%) を加える。
[20%食塩水の量]×20(%) = (400(g)×10(%) + [20%食塩水の量]×10(%) - 400(g)×5(%)
(移項)両辺に - [20%食塩水の量]×10(%) を加える
[20%食塩水の量]×20(%) - [20%食塩水の量]×10(%) = (400(g)×10(%) - 400(g)×5(%)
(結合)
[20%食塩水の量](20(%) - 10(%)) = (400(g)(10(%) - 5(%))
[20%食塩水の量](10(%)) = (400(g)(5(%))
両辺を(%)で割る
[20%食塩水の量](10) = (400(g)(5)
計算
[20%食塩水の量](10) = 2000(g)
両辺に1/10をかける
[20%食塩水の量] = 200(g)

ここまでは小学校の解き方なので中学校では未知数に置き換えますから、
加える食塩水の量をAとする
5%の食塩水400gに、食塩は 400(g)×5(%)含まれている。
20%の食塩水に、食塩はA(g)×20(%)含まれている。
10%の食塩水に、食塩は(400 + A)(g)×10(%)含まれている。

400(g)×5(%) + A×20(%) = (400(g) + A)(g)×10(%)
(展開)
400(g)×5(%) + A×20(%) = 400(g)×10(%) + A(g)×10(%)
(移項) -400(g)×5(%) を加える。
A×20(%) = (400(g)×10(%) + A×10(%) - 400(g)×5(%)
(移項)両辺に - A×10(%) を加える
A×20(%) - A×10(%) = (400(g)×10(%) - 400(g)×5(%)
(結合)
A×20(%) - 10(%)) = (400(g)(10(%) - 5(%))
A×10(%)) = (400(g)(5(%))
両辺を(%)で割る
A×(10) = (400(g)(5)
計算
10A = 2000(g)
両辺に1/10をかける
A = 200(g)

(式の変形)
[定理]
　引き算は負数を加える事
　割り算は逆数をかける事
　よって、2-3 ≠ 3-2、2÷3≠3÷2 だったものが、
　2 + (-3) = (-3) + 2、 2×(1/3) = (1/3)×2
　と変形できる用になる。★未知数であっても★
式の変形
　A+B = B+A　　A×B = B×A　交換
　A(B + C) = AB + AV　　　　置換
　AB + AC = A(B + C)　　　　結合

[移項] =の関係にある両辺に同じ処理をしても変わらない
　A + C = B　両辺に(-c)を加える
　A = B + (-C)

★中学校一年の最初に徹底的に学ぶところ

No.3 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/02 01:11

20%の食塩水を xg 混ぜるとすると、

[{400×(5/100)+x×(20/100)}/(400+x)]×100=10
(2000+20x)/(400+x)=10
2000+20x=10(400+x)
2000+20x=4000+10x
10x=2000
x=200
(答)　200g

式の展開がわかりません
というのは、もしかして、

[{400×(5/100)+x×(20/100)}/(400+x)]×100=10
　　↓↓↓
(2000+20x)/(400+x)=10

のところですか？

もし、これであれば、
左辺の最後にある　×100　をその前にある分数の　《分子》　にかけます。
そうすることにより、
分子の　{　　　　}　内の分数　5/100　や　20/100　と 100 で約分ができ、
分子が　2000+20x　のようになります。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/09/02 00:18

「式の展開がわかりません」という意味が分かりません。

だったら、展開前と展開後の式を示してください。

問題は、「何グラムの食塩が溶けているか」という食塩の絶対量で求めるのが簡単です。

（１）5%の食塩水400gに含まれる食塩の重量は、

　　　400(g) × 0.05 = 20(g)

（２）混ぜる20%の食塩水を A(g) とすると、これに含まれる食塩の重量 B(g) は、

　　　B = A(g) × 0.2 = 0.2*A(g)

（３）最終的にできる食塩水は

　　　400 + A (g)

（４）この中の食塩の重量は（１）と（２）の合計で

　　　 20 + 0.2*A (g)

（５）これが10%食塩水になるためには、（３）（４）より

　　　(20 + 0.2*A) / (400 + A) = 0.1

（６）これを解いて、

　　　A = 200(g)

と求まります。