ある関数について

Question

f(x)=x^xのグラフは、どのような形（例えば、f(x)=ax^2+bx+cのグラフなら、放物線になる、みたいな感じで）になりますか？
また、この関数はどのような性質があるのでしょうか・・・。

Mr_Holland · Accepted Answer

手持ちの平面曲線のリストには載っていなかったので、あまり実用的な曲線ではないのかもしれません。（数学的には意味があるかもしれませんが。）

　　f(x)＝x^x＝exp{x*log(x)}　　（ｘ＞０のとき）
と変形すると、容易に微分ができて、
　　f'(x)＝{1+log(x)}x^x
　　f''(x)＝{1+log(x)}^2 x^x +x^(x-1)
となり、ｘ＝1/e で極小値を持つことがわかります。
　また、
　　f(0)＝f(1)＝１、　f(1/e)＝e^(-1/e)＝0.692201
という値を取りますので、０＜ｘ＜１　の辺りでは、f(x)は１を下回るところで落ち着いていることが分かります。
　ｘ＞１では、想像通り、指数関数を上回る速度で無限大へ飛んでいってしまいます。

　さて、ｘ＜０　の範囲ですが、f(x)が微分できなかったように、離散的になり、整数値でのみ関数値を持つようです。
　　f(0) ＝+1
　　f(-1)＝-1
　　f(-2)＝+1/4
　　f(-3)＝-1/27
　　f(-4)＝+1/256
　　・・・・・・・
　このように、ｘの値が１小さくなるごとに符号を反転させていきますので、f(x)は振動しながら０に近づいていくと見られます。

　ｘ≧０では連続関数で、指数関数より早く無限大へ飛び、
　ｘ＜０では離散関数で、振動しながら０に漸近する

f(x)＝x^x とは、そういった変わった関数のようです。

pac-pac · Answer

もし、windowsをお使いで、グラフの形を見たいのだったら、
MicrosoftのPowerToys のPowerCalcがお勧めです。
あまり頼りすぎると脳内イメージ力が下がってしまいますが・・・

ただ、f(x)=x^xで、f(0)に関しては不定形だったと思いますので、
単純にグラフだけを信じないように気をつけてください。

参考URL：http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/xtothex1/node2.html

sanori · Answer

＃１の者です。

＃４の Mr_Holland さんのご回答は、いつも素晴しいです。
そこで気づいたのですが、

私の回答では、
「ｘ＝０付近を始点とし、そこから右上に上昇します」
と書いていました。
（つまり、ｘ＝０付近から増加関数）

しかし、それは誤りでした。
極値を取るところまでは減少関数で、その後増加関数になります。

失礼しました。

funoe · Answer

Ｘ＞０ですね。

Ｘ＝＋０のとき、Ｙ＝１－０に近づくので、
（0,1）をスタート（厳密には白丸でのスタート）して、下に下がってきて、
ｘ＝１／ｅのとき、最小値をとって、其処からは、最初ゆるやかに、その後急激に上昇していく感じ。

ぱっと見た感じ放物線に似ているけど、上昇の急激さが桁違い。

t-yamada_2 · Answer

Xに正負の数字を入れてグラフ化してみてはどうでしょうか？
正なら（X≠0）X=1,2,3,4…と代入すればY=1,4,27,256…
負なら（X≠0）X=-1,-2,-3,-4…と代入すればY=-1,1/4,-1/27,1/256…と言うように正負を行き来します。

sanori · Answer

（当然、ｘ＞０　ですね）

ｘ＝０付近を始点とし、そこから右上に上昇しますが、
最初はなだらかですが、その後、徐々に傾きが大きくなり、ものすごい勢いで上に上っていきます。
もしも、スタート直後で二次関数や通常の指数関数に負けても、その後、逆転して、はるか上まで走っていきます。

＞＞
この関数はどのような性質があるのでしょうか・・・。

んー、どうでしょう・・・

ある関数について

手持ちの平面曲線のリストには載っていなかったので、あまり実用的な曲線ではないのかもしれません。

もし、windowsをお使いで、グラフの形を見たいのだったら、

＃１の者です。

Ｘ＞０ですね。

Xに正負の数字を入れてグラフ化してみてはどうでしょうか？

（当然、ｘ＞０ ですね）

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　手持ちの平面曲線のリストには載っていなかったので、あまり実用的な曲線ではないのかもしれません。

（当然、ｘ＞０　ですね）