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lim x→∞ xe^xの極限値は どのように求めるのですか?

A 回答 (3件)

極限値を「求めよ」なのであれば、単に、(左辺)=∞の一言で十分です。


(「生徒を馬鹿にするな!」と思えるぐらい、自明のくだらない問題なので)

もし、「極限値が∞であることを示せ」だとすれば、
  lim[x→∞]x=∞、lim[x→∞]e^x=∞より、(左辺)=∞
ぐらいは書いてあげたほうがよさそうですが。
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この回答へのお礼

ロピタルの定理を使ってといたら途中にこの式が出てきたので、この後どのように回答を作って良いのかわからず質問させていただきました。
最後の最後まで回答ありがとうございました!

お礼日時:2017/10/21 15:11

求めたいのは、lim(x→∞) xe^(-x)でしょ。



高校レベルなら、特に証明などしなくても、lim(x→∞) xe^(-x)=0としてしまっていいけど、証明するなら、こうすればいい。

まず、x>0において、1+x+(1/2)x^2 < e^xを示す。
f(x)=e^x-{1+x+(1/2)x^2}とおくと、f'(x)=e^x-1-x、f''(x)=e^x-1
すると、f''(x)>0だからf'(x)は増加関数で、f'(0)=0なので、f'(x)>0
f'(x)>0だからf(x)は増加関数で、f(0)=0なので、f(x)>0
よって、1+x+(1/2)x^2 < e^x [※]が示された。

このとき、xe^(-x) = x/e^xであるから、上記の※を分母に適用して、
x/e^x < x/{1+x+(1/2)x^2}となる。
このとき、x>0なので、当然、0 < x/e^x < x/{1+x+(1/2)x^2}である。
すると、x→∞のとき、x/{1+x+(1/2)x^2} → 0であるから、はさみうちの原理により、x/e^x → 0
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この回答へのお礼

別の問題だと考えて 証明までしてくださって ありがとうございます。
しかし、今回の問題はlim x→∞ xe^xで 自分でも∞しかないなと思うのですが、問題文では極限値を求めよと言われているのですが(左辺)=∞という書き方で表してもよろしいのでしょうか?

お礼日時:2017/10/21 14:53

問題間違っていませんか。

∞になってしまいます。
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この回答へのお礼

∞になってしまいますよね
その時の 答えの書き方はどのようにすれば良いのですか?

お礼日時:2017/10/21 14:54

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