
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
時間ができたので微分を使わないでいきます。
lim(e^x-1)/x=1 をフル活用してみます。
x→0
e^x-e^(-x)/x=(e^x-1-e^(-x)+1))/x
=(e^x-1)/x+(e^(-x)-1)/(-x)
と変形すれば1+1=2となるよ。
lim(e^x-1)/x=1 の証明は大丈夫?
x→0
e^x-1=h とおけば x=log(1+h) でx→0ならh→0
だから
lim(e^x-1)/x=limh/log(1+h)=1
x→0 h→0
でいかがでしょうか。また何かあれば。
この回答への補足
早く御礼を言わなきゃと検算もせずに返事をしてしまいました。やっぱりまだ分かりません。
なぜ
lim h/log(1+h)=1
h→0
なのでしょうか?自明じゃないですよね?
素晴らしいです。
> lim(e^x-1)/x=1 の証明は大丈夫?
大丈夫じゃなかったです。何から何までお手数をおかけしました。
またよろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
こんにちは。
お勉強御苦労様です。
shushouさんのとおりです。
l`Hospitalの法則の説明を
(解っているととても楽チンですよ)
f(x),g(x)は x=a の近傍で連続で、x=a 以外では微分可能
であるとする。さらに、f(a)=g(a)=0 で、x=a 以外では
g`(x)=0 とする。このとき、
lim f(x)/g(x)=k ならば
x→a
lim f`(x)/g`(x)=k
x→a
つまり、分母・分子が極限値が0ならば
微分して極限をとるといいのです。
この場合
分子を微分して e^x+e^(-x)
分母を微分して 1
よって、全体の極限はその通り 2 になります。
ありがとうございます。
shushouさんにも申し上げたように、微分を使わない方法があればおしえてください。
よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
ロピタルの定理ですぐ2とわかります。
あるいは、e^xとe^(-x)をそれぞれマクローリン展開しますと
分母=(1+x/1!+x^2/2!+...)-(1-x/1!+x^2/2!-...)
=2x/1!+2x^3/3!+...
となるのでこれを代入しても答えの2が出てきます。
ありがとうございます。
ただ私の勉強している本(『微分積分学』サイエンス社発行、笠原晧司著)ではド・ロピタルの定理やマクローリン展開が出てくる前にこの問題が出てきます。
出来れば微分の出てこない範囲での回答をお願いしたいのですが。
でもありがとうございました。
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