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y=x^xの二回微分

y=x^xの一回微分は、対数微分法で求められたんですが、
(y´=x^x(log(x) + 1))
これをもう一回微分しようと、

logy´=log(x)^x(log(x) + 1)

   =xlog(x) + log(log(x) + 1)

として計算しているのですが、答えと一致しません。
友達は、一回微分の答えと同じだといっているのですが、なりません。

どこで間違っているのかがわかりません。
アドバイスをお願いします。

A 回答 (5件)

> ..... 一回微分と二回微分の値は一致するそうです。



y'' - y' = 0 を満たす y は?
   
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>...... 友人の話だと、一回微分と二回微分の値は一致するそうです。



 y' = (x^x)' = (x^x){log(x) + 1}
と、
 y" = (x^x)'{log(x) + 1} + (x^x)/x = (x^x){log(x) + 1}^2 + x^(x-1)
 = {x^(x-1)}{x(log(x) + 1)^2 + 1}
の値が一致するとすれば、
 (x^x)[{log(x)}^2 + log(x)] + x^(x-1) = 0
 x*[{log(x)}^2 + log(x)] + 1 = 0

実数解は無さそう。
  
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>y=x^xの一回微分は、対数微分法で求められたんですが、


>y´=(x^x)(log(x) + 1)
ここまでは合っています。
y'をそのまま積の微分をすればいいでしょう。

(x^x)の微分はy'をそのまま代入すればいいですから…。
y"=(x^x)'*(log(x) + 1)+(x^x)(log(x) + 1)'
=(x^x)(log(x) + 1)^2+(x^x)/x
={x(log(x) + 1)^2+1}x^(x-1)

これはy'と異なりますので友達の答えは間違いです。

なお、y'も対数微分法を使うなら
>log(y')=log{(x^x)(log(x) + 1)}
>   =xlog(x) + log(log(x) + 1)

xで微分して
y"/y'=log(x)+1+1/{x(log(x) + 1)}
y"=(x^x)(log(x) + 1)[log(x)+1+1/{x(log(x) + 1)}]
=(x^x)[{log(x)+1}^2+1/x]
=[x{log(x)+1}^2+1]x^(x-1)
と上の結果と一致します。
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私もANo.1の方と同じ答えが出ました。



y' = x^x(log(x) + 1)は変形すると
y' = x^x + (x^x)(log(x))です。

これをy = x^xと並べて書くと次のようになります。

y = x^x … (1)
y' = x^x + (x^x)(log(x)) … (2)

(1)を微分すると一階微分の式が求められ、
(2)を微分すると二階微分の式が求められます。
(1)と(2)を微分すると

y' = (x^x)'
y'' = (x^x)' + ((x^x)(log(x)))'

となります。
y'もy''も(x^x)'の項を持っているので、
y'とy''が一致するためには((x^x)(log(x)))'が0にならなければいけません。
しかし微分して0になるのは定数項だけです。
よって((x^x)(log(x)))'は0になる事はあり得ません。

なのでy'とy''が一致する事はありえません。
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 y' = (x^x)(log(x) + 1)


を微分すると、
 y" = (x^x)'(log(x) + 1) + (x^x)/x
  = (x^x)(log(x) + 1)^2 + x^(x-1)
  = {x^(x-1)}{x(log(x) + 1)^2 + 1}
になるのかな。
  

この回答への補足

回答ありがとうございます。

しかし、これだと一回微分と二回微分の値が一致していませんよね。
友人の話だと、一回微分と二回微分の値は一致するそうです。

補足日時:2010/07/25 13:14
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