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実数x、yがx^2+y^2=1を満たすとき、2x−yのとりうる値の範囲を求めよという問題で、

2x−y=k ⇔ y=2x−k

これがx^2+y^2=1すなわち原点中心の半径1の円を満たせばいいよい。

kは切片なので、範囲は−1〜1

と書いたのですが答えは√5でした。

答えのやり方もわかるのですが、僕の方法でもできると思います。

なにがまちがってますか?

A 回答 (5件)

ちゃんと図を描いてないね?


図を可能な限り正確に描いて、切片がどの辺りかくらいは見ておきましょう。
図を描くのは基本中の基本です。
図を描きさえすれば、その図や図形的性質から、切片の範囲を計算することも可能なはずです。
だから、方針としては悪い物では無いのですが、図を描くという基本中の基本を怠って凡ミスをしているのがダメです。何重ものチェックもできてない。

解き方は山ほどあると思いますので、この解き方でないとダメ、という物では無いと思います。
そうですね、こう解いてこういう数値になりましたが答と合いません、じゃなくて、チェックができてない、他の解法が出てこない、という辺りがかなり拙いと思います。自力で正解が導き出せない。大学入試本番の得点力にはかなり影響するでしょう。
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>kは切片なので、範囲は−1〜1



ここが間違い。
k=1のときは(x, y)=(0, -1), (4/5, 3/5)
k=-1のときは(x, y)=(0, -1), (-4/5, -13/5)
となるが、kの値によっては(x, y)が重解になるケースが抜けている。

2x-y=k ⇔ y=2x-kをx^2 + y^2=1に代入すると、

x^2 + (2x-k)^2 =1
x^2 + 4x^2 - 4kx + k^2 - 1=0
5x^2 - 4kx + k^2 - 1=0

上記の2次方程式が実数解を持てばよいので、
(4k)^2 - 4×5×(k^2 - 1)≧0
16k^2 - 20k^2 + 20≧0
-4k^2 + 20≧0
4k^2≦20
k^2≦5
-√5≦k=2x-y≦√5
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直線 2x−y=k ⇔ y=2x−k が円の接線になるときのKを調べていないから間違い



K=1,-1ではy=2x-kは円周と2か所で交わってしまう
ということは、y=2x-kは、円の範囲をみたしたままもっと上下にスライドさせることができる
つまり、切片kは1より大きくなることが可能だし、-1より小さくなることも可能
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図書いてみれば分かると思いますが、-1と1の時は共有点を二つ持っています。


共有点が一つの場合も考えましょう。
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x²+y²=1……①


y=2x-k……②
①と②が共有点ををもてば良いわけです。

kの範囲が−1〜1ならば、①と②は共有点をもちます。
しかし、kの範囲が更に広がっても共有点を持ちます。
①と②のグラフをかいてみるとわかります。

①と②が接するまでの間は①と②は共有点を持ちますので、kの範囲は−1〜1より広くなります。
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