超初歩的な数学の質問で失礼します。
(x-4)(4x+3)/(x-4)=19
とした時、xの解を求めよ、という問題です。
ここで、x=4は分母に(x-4)があるのでゼロ除算となり、xの解は存在しないのですが、(x-4)で約分した際はx=4という答えが出てきます。
また同様に,(x-4)を両辺に掛けた際、x=4という解が存在することになります。
ここで質問なのですが、
①(x-4)で割っていい時
②(x-4)で掛けて良い時
とはどのような時ですか?
①(x-4)で割って良い時
極限として、lim[x→4]とした際は約分し極限値を求めることが出来ますが、極限でない場合に割ってはいけない理由は、
x=4が定義外だからですか?
その場合、極限で割っていい(約分していい)のはx=4に近づけているだけであって、xの定義域内に丸め込むことが出来ているから、という認識で合っていますか?
②(x-4)で掛けて良い時
関数的に見れば、
(x-4)(4x+3)=19(x-4)
の場合は二次関数と一次関数の交点として見ることが出来ますけれど、
(x-4)(4x+3)/(x-4)=19
の場合は,x=4で連続でない直線とy=19というグラフの交点を求めることになります。
したがって、関数に変化が生じます。両辺に(x-4)をかければ、解としてx=4が出ます。
このような場合は(x-4)でそもそも掛けて良いのか、という疑問すら生じます。
定義域が掛ける前と掛けた後で異なってしまうので、掛けること自体が誤りなのでしょうか?
A 回答 (6件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.6
- 回答日時:
① (x-4) で割っていいのは、x-4≠0 のときです。
A=B ⇒ A/C=B/C が成り立つのは、C≠0 のときだけだからです。
lim[x→4] については、lim の正式な定義を学ばないと、
高校流の「近づけば近づく」では解りにくいかもしれません。
x を 4 に近づけるだけで、ちょうど x=4 にはしないのが lim[x→4] だ
くらいに覚えておきましょう。
② (x-4) を掛けてよいのは、常にです。いつでも掛けてよい。
A=B ⇒ AC=BC は、C の値が何であっても成り立ちます。
ただし、方程式を解こうというときには、 ⇒ ではなく ⇔ であることを
期待することも多いものです。(⇒ で考察して解の候補を絞り、
後から解を吟味してもよいんですけどね。)
同値変形がしたいなら、① のときと同様に x-4≠0 でなくてはなりません。
A=B ⇒ AC=BC は常に成り立ちますが、
AC=BC ⇒ A=B には C≠0 が必要だからです。
(x-4)(4x+3)/(x-4)=19 については、x-4≠0 を確保するために場合分けして...
x-4≠0 の場合:
左辺を約分して 4x+3=19 より x=(19-3)/4=4.
x-4≠0 かつ x=4 となる x は存在しない。
x-4=0 の場合:
仮定より x=4 となるが、これは与式左辺に代入することができない。
よって、x-4=0 の場合に与式は成立しない。
以上より、解なし。
両辺に (x-4) は常に掛けてよいという立場を取るなら...
(x-4)(4x+3)/(x-4)=19 の両辺に (x-4) を掛けて、(x-4)(4x+3)=19(x-4) より
0=(x-4)(4x+3)-19(x-4)=(x-4)(4x+3-19)=(x-4)(4x-16)=4(x-4)^2.
この式を満たす x は x=4 のみである。これが解の候補になるが、
x=4 は与式左辺へ代入することができない。よって解なし。
No.5
- 回答日時:
「(x-4)(4x+3)/(x-4)=19・・・(a)
とした時、xの解を求めよ」
という問題があったとき、
((a)の左辺の分母に(x-4)が登場してるので、)
この時点で「x≠4」です。
>①(x-4)で割っていい時
>②(x-4)で掛けて良い時
>とはどのような時ですか?
式変形のさい、
「同値性をくずさずに」式変形したければ、
両辺をx-4でわったりかけたりしていいのは、
x-4≠0のときです。
No.3
- 回答日時:
いや、だから実際に計算してみなよ。
分かりやすく式を書き直してみようか?
(4×3)/4
↓
(4×3)/4=
いくつになるよ?
質問者さんの考え方では
(0×3)/0=
になるって事だよね?
でも違うだろ。
No.1
- 回答日時:
>x=4は分母に(x-4)があるのでゼロ除算となり、
('ω') 「0」じゃなくて「1」になるんだなぁ。
(4×3)/4
これ計算してみなよ。
質問者さんが勘違いしていることが明らかになると思います。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 【高1 数学Ⅰ 二次関数】 二次関数 f(x)=x^2-4ax+8a がある。ただし、aは正の定数と 3 2022/07/23 15:46
- 数学 二次関数について質問です。 下に凸で、軸が直線x=aだったとします。定義域2≦x≦4において、最小値 5 2024/01/09 22:59
- 数学 数学の問題です。一次関数です。 問題が、1次関数Y=7/4X-1/7(4分の7X-7分の1)において 7 2023/09/09 22:13
- 数学 数学の一次関数の問題解いて欲しいです!お願いします! 次の直線の式を求めなさい ・傾きがー3/5で、 6 2022/08/24 23:30
- 数学 下記数学の計算結果の違いがなぜ起こるのかを教えてほしいです。 ①のように、増加量が出ているならそれを 10 2024/02/01 14:48
- 数学 【完全微分方程式⠀】 分数で分母が0になり定義できない場合、分母を仮にtと置いてそれを極限t→0とし 1 2022/05/06 14:43
- 数学 数学1の問題がわかりません。 次の関数において、頂点の座標と、[]内のxの値に対するyの値を求めよ。 3 2023/02/13 00:36
- 数学 条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法 について、質問したいことがあります。 条件 3 2023/05/15 21:38
- 数学 写真の数学の(2)の問題で要求している"異なる4点交わる点”についてのしつもんです。 解説を見るとx 3 2023/03/10 00:28
- 数学 高校数学の問題です。 aを定数とする。放物線y=x^2+aと関数y=4|x-1|-3のグラフの共有点 3 2022/05/09 08:59
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
性格の違いは生まれた順番で決まる?長男長女・中間子・末っ子・一人っ子の性格の傾向
同じ環境で生まれ育っても、生まれ順で性格は違うものなのだろうか。家庭教育研究家の田宮由美さんに教えてもらった。
-
0を0 乗すると答えは1ですか 考え方を文章で簡単に解説 お願いします
数学
-
小学生算数の逆算について
数学
-
log₂10は、3.3…ですよね?
その他(教育・科学・学問)
-
-
4
数学
数学
-
5
√-1 は、何になるのでしょうか
数学
-
6
2位じゃダメなんですか?
高校
-
7
数学ができませんが理系でやっていけますか? 私は数学が前から苦手でした。高校受験でも一番足を引っ張っ
高校
-
8
なんで 1/3=0.33333 なのに0.3333×0.3333であるはずの 1/9は0.11111
数学
-
9
『3ℓと5ℓで8ℓ』の続き
数学
-
10
ピタゴラスの定理は辺の長さが虚数でも成り立ちますか
数学
-
11
算数 速度と距離と時間の問題
中学校受験
-
12
なんで両辺に10をかけると8x+9y=23000になるのか教えてください!
数学
-
13
小4 算数 質問
その他(学校・勉強)
-
14
硬貨を投げて続けて表が2回でない確率を求める問題について疑問があります
数学
-
15
学校で起立礼着席とか、黒板を消すとかありますけど時間の無駄じゃないですか?あんなのやるなら割り算を分
小学校
-
16
赤点がない高校って珍しいですか?
高校
-
17
なんで2πをかけるのかがわからないです。
計算機科学
-
18
両親が偏差値70前後の超進学校から超一流大学、祖父母は早慶卒です いとこも京大、慶應などです 勉強を
大学受験
-
19
動物実験していない企業を教えてください
生物学
-
20
算数が精神を破壊する
小学校
関連するカテゴリからQ&Aを探す
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
三重積分についての問題です {...
-
X²+X=0 この解き方がわかりま...
-
現在中3です。y=a(x-p)+q ...
-
三角形って全部円に内接しますか?
-
0≦θ<2πのとき不等式を解く問題...
-
放物線y=x^2を平行移動したもの...
-
(2)の問題です。 Xの4乗+4を因...
-
数学についてです。 方程式を解...
-
正八面体ABCDEFの各面の重心を...
-
数学IIについてです 極小値と最...
-
平行四辺形ABCDでCE:ED=1:2の...
-
AM=BM,AN=BNのとき、AB⊥MNとな...
-
この答えとやり方を教えて下さ...
-
関数 y= x*2 -4x + 5 (1≦x≦3)の...
-
x ≡ 3 mod5 x ≡ 7 mod12 の連立...
-
へこみのない多面体を正多面体...
-
x^3+64=0 を解けという問題がわ...
-
曲線y=X^3+X^2-1の接線で、原...
-
二つの直線y=x +4とy=ax−8がx...
-
数学Aの組み合わせの問題で、正...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
(a+b)(b+c)(c+a)の展開の仕方を...
-
X²+X=0 この解き方がわかりま...
-
現在中3です。y=a(x-p)+q ...
-
数学Aです 正七角形について 3...
-
数学Aの組み合わせの問題で、正...
-
(2)の問題です。 Xの4乗+4を因...
-
数I 2次関数の問題です aは正の...
-
ab+a -b -1の因数分解の解き方...
-
曲線y=X^3+X^2-1の接線で、原...
-
三角形って全部円に内接しますか?
-
数学IIについてです 極小値と最...
-
x^3+64=0 を解けという問題がわ...
-
y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)-1 の最...
-
高一数学です。とても困ってお...
-
三角形ABCの重心と3点ABCから等...
-
この答えとやり方を教えて下さ...
-
数学についてです。 方程式を解...
-
2次方程式 x ^2+2(m-3)x+4m=0...
-
こちらの画像で3つの式を辺々足...
-
数 2の問題です!円X 2乗+y2乗...
おすすめ情報
ええと、つまりどういうことですか?
途中式はどうなりますか?
(x-4)(4x+3)=19(x-4)
これを展開すると、
4x^2-13x-12=19x-76
両辺を19x-76で引くと
4x^2-32x+64=0
4(x^2-8x+16)=0
4(x-4)^2=0
つまりx=4にはならないのですか?
x=4という解が導出不可なのは何故ですか?
ええと、それは分母が(x-4)ではなく、xのみであった時の話ではないのですか?
分母が4になる時に話ではなく、xが4であった時の話です。
x=4を代入すれば、(x-4)は(4-4)になり、0になりますよね。
つまり、
(x-4)(4x+3)/(x-4)=19
で与えた式が、0×19/0=19
となり、0×19=0ですから、
0/0の不定形となり、ゼロ除算になりますよね...?
解が導出出来ないというのは何故ですか?
途中式はどうなっておりますか?
(x-4)(4x+3)/(x-4)=19
両辺に(x-4)を掛けると、
(x-4)(4x+3)=19(x-4)
ここで、式を展開すると、
4x^2-13x-12=19x-76
したがって、
4x^2-32x+64=0
4(x^2-8x+16)=0
4(x-4)^2=0
となるので、x=4の時、等号は成立しないのですか?
あ、なるほど。
x=4を代入した状態だと思ってました。あくまで仮にそういう式があった場合、というケースの話ですね。
分母の(x-4)があったとしても、それは分子の(x-4)と同値なのだから、0/0となっても1になるのだから割って良いよね、ってことですかね!
仮にそうだとすると、①の割っても良い場合は、分母と分子にいずれも同じ項を含む式がある場合、となりそうですね。
確かにこの場合、x=4が解になりそうですね。
...だとすると、定義域がx≠4であることと、解が存在しないのは何故ですか?
関数における連続性はどうなりますか?
ええと、計算した結果、x=4になるため、結局ゼロ除算ですよね???
私は、①の(x-4)で約分しても良い場合、②の(x-4)で掛けて良い場合の話をお聞きしてります。
お答えいただくのはありがたいですが、結局のところ"理由"が分かりません。
具体的に言語化していただけないでしょうか...?
Wolframでも同じく計算をしました。
画像を添付しておきます。解は存在しません、となります。
ここで、質問を変えます。ならば何故解は存在しないのですか?