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ベクトルに大きさをつける時って同値変形ではないのに進めていい理由はなんですか?


|a→|=|b→|=|c→|=1 とする。 2a→+3b→+√7c→=0→
のとき a→のb→のなす角を求めよ

多分同時に付けていい質問の重さではないんですが

微分をする時同値変形が崩れているのに進めていいのは何故ですか?

質問者からの補足コメント

  • |a→|=|b→|=|c→|=1 とする。 2a→+3b→+√7c→=0→
    のとき a→のb→のなす角を求めよ

    はただ例をあげただけです

      補足日時:2022/08/11 16:58
  • 微分をする時同値変形が崩れているのに進めていいのは何故ですか?

    という質問は全くベクトルと関係がない質問です

    たとえば

    y=x²-2x+3…①
    のグラフを微分で書こうと思ったときに

    y=2x-2 となって ①と同値性が保たれません

    実際この後極値を求めるとき

    このまま進めていい理由が分かりませんという質問です


    補足

    ベクトルの大きさをつけるとはベクトルに絶対値をつける時ということを言いたかったです
    すみません

      補足日時:2022/08/11 19:51
  • 微分でグラフを書く時って

    y=f(a)で極値をとる→f’(a)=0が常に成り立つ
    からそこでaを求めて


    f’(a)=0→y=f(a)で極値をとる
    ことを示すために増減表を書いて実際に極値をとることを示すので十分性が満たされるということですか?

      補足日時:2022/08/13 14:23

A 回答 (13件中1~10件)

/ y = x^2-2x+3


y = x^2-2x+3 ⇔ |
\ y' = 2x-2
が何を表しているのかなのだが, もしも万が一にも
「y = x^2-2x+3」と「『y = x^2-2x+3』かつ『y' = 2x-2』」が同値である
という意味なのだとしたら, それは正しい.
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そもそもの話、十分性云々を気にしている時点でピント外れのような気もしますが。

ある問題を解くために

f(x)=0…①

と言う式を変形して

g(x)=0…②

と言う式を導く場合、①式と②式が同値(同じ式)である必要なんてどこにもないはずですし。
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y=x^2-2x+C…(1)



↓微分すると

y'=2x-2=2(x-1)…(2)

x<1 の時 y'<0 だから xが増加時yは減少

x>1 の時 y'>0 だから xが増加時yは増加

だから
(Cが何であろうと)

x=1 で yは最小になるのです

最小値は
y=1-2+C=C-1
だから
最小値は(1)がなければ求める事はできません
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「積分方程式を微分で求める時は同値性を意識」云々の意味が分かるような分からないようなですが、微分方程式とその解となる関数や、積分方程式とその解となる関数は同値(≒同じもの)ではありません。

例えば1階微分方程式であれば、その解は言わば0階微分方程式ですから同じであるわけがないと思います。
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> y=x²-2x+3…①


> のグラフを微分で書こうと思ったときに
> y=2x-2 となって ①と同値性が保たれません
> 実際この後極値を求めるとき
> このまま進めていい理由が分かりませんという質問です

「このまま進めて」という言い方に誤魔化しがある。
y’=2x-2 (y=2x-2 じゃないよ) から y が極値をとる x は求まるが、
その x だけでは「極値」そのものは求まらない。
「このまま」では終われないんであって、グラフを書くには、
y’=2x-2 だけじゃなく元の y=x²-2x+3 が登場しなければならない。
y=x²-2x+3 から y’=2x-2 を導いたことが同値変形じゃない
ことの後始末は、こうして y=x²-2x+3 によってつけなければならない。
「進めて」の部分に十分性の確認が含まれているということだ。
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この回答へのお礼

極値をとるxの数は①だと決まってるのでその分の個数が出てこれば他にxはありえないので十分性を満たすということですか?

お礼日時:2022/08/12 10:46

改めて同じことを書こう.



例えば y = x^2-2x+3 を微分して y' = 2x-2 が得られたとして, もとの「y = x^2-2x+3」が虚空に滅するわけじゃないってのは理解できる?
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この回答へのお礼

つまりこうゆうことですか?
/ y = x^2-2x+3
y = x^2-2x+3 ⇔ |
\ y' = 2x-2

お礼日時:2022/08/13 13:38

補足に対してですが



y=x^2-2x+3…①

と言う式と、その式を微分して得られる

y'=2x-2x…②

が同値であるわけありません。ある関数を微分したものが元の関数と同じであるはずがないでしょう(もちろん同じ場合もありますがそれは特別な場合だけです)。そもそもその二つの式が同値だったらわざわざ①式から②式を求める意味がありません。①式とは異なる別の式が欲しいからこそ微分と言う操作を施すわけですから。
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この回答へのお礼

微分がある点での傾きを求めてるのはわかるのですが

他の分野(軌跡など)のようにあまり意識をしてないように感じます

微分は条件式を増やしているだけなので
同値性は意識しなくていいんですか?

積分方程式を微分で求める時は同値性を意識している気がするのですがそれとは違うんですか?

定積分の区間を∫〈a↑b↓〉で表します

等式
x+ ∫〈x↑a↓〉(x-t)f(t) dt

を満たす関数f(x)とaの値を求めよ

という問題では同値変形を意識していますが条件式を増やすにも同値性は必要じゃないんですか?

お礼日時:2022/08/11 23:31

|a|=|b|=|c|=1


2↑a+3↑b+√7↑c=0
↑aと↑bのなす角をθ
とする

2↑a+3↑b=-√7↑c
|2↑a+3↑b|^2=|√7↑c|^2
12(↑a,↑b)=|√7↑c|^2-4|a|^2-9|b|^2
12(↑a,↑b)=7-4-9=-6
(↑a,↑b)=-1/2
|a||b|cosθ=-1/2
cosθ=-1/2
∴↑aと↑bのなす角は

θ=2π/3=120°

θが1つに定まるから
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変形をしても, 実は「元の情報」が残っていることを忘れなければ問題ないと思うんだ.

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ベクトルだろうが、微分だろうが、数学の多くの計算は


同値変形ではなく十分条件から必要条件を引き出す変形です。
これだからこれが言えて、これだからこれが言えて...
を繰り返すと、最終的に最初の条件に対する必要条件が得られます。
この時点では、まだ単なる必要条件です。
今回質問の例で言えば、
|a→|=|b→|=|c→|=1 かつ (2a→)+(3b→)+(√7)(c→)=(0→)
であるためには、少なくとも a→ と b→ のなす角は θ でなくてはならない。
という θ を、計算で求めることができます。
で、この θ が本当に a→ と b→ のなす角であるかどうかについて
「十分性の確認」をしなければならないのですが、
θ の値の候補が 1 つに絞れていれば、
a→ と b→ になす角が在ることは自明ですから、その θ で十分と判ります。
計算の結果、θ の候補が複数になった場合は、
どれが本当になす角としてありえる値か
ちゃんと十分性の確認をしなければなりません。
そういう問題って、実際、問題集でよく見かけますよね?
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