写真の数学の問題について、最終的な答えである③④は一つの条件かもしれず、他にもまだ成り立つときがある

写真の数学の問題について、最終的な答えである③④は一つの条件かもしれず、他にもまだ成り立つときがあるかもしれないと思うのですが、どうやって見分けますか？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/19 21:42

(3cosθ+2)(2cosθ-1)(u-v)+cosθ≧0

u-v=xとおくと

(3cosθ+2)(2cosθ-1)x+cosθ≧0…②
が
すべての実数xに対して成り立つ
ための条件は

(3cosθ+2)(2cosθ-1)=0 …③かつ
cosθ≧0 …④

である

(3cosθ+2)(2cosθ-1)≠0
のとき
実数
x=-2/{(3cosθ+2)(2cosθ-1)}
に
対して
(3cosθ+2)(2cosθ-1)x+cosθ=-2+cosθ<0
となって
(3cosθ+2)(2cosθ-1)x+cosθ≧0…②
は成り立たないから

(3cosθ+2)(2cosθ-1)x+cosθ≧0…②
が
すべての実数xに対して成り立つ
ためには

(3cosθ+2)(2cosθ-1)=0 …③

でなければならない

cosθ<0
のとき
実数
x=0
に
対して
(3cosθ+2)(2cosθ-1)x+cosθ=cosθ<0
となって
(3cosθ+2)(2cosθ-1)x+cosθ≧0…②
は成り立たないから

(3cosθ+2)(2cosθ-1)x+cosθ≧0…②
が
すべての実数xに対して成り立つ
ためには

cosθ≧0 …④

でなければならない

(3cosθ+2)(2cosθ-1)x+cosθ≧0…②
が
すべての実数xに対して成り立つ
ための条件は

(3cosθ+2)(2cosθ-1)=0 …③
と
cosθ≧0 …④
の
両方の条件が成立するとき以外は無い

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/05/19 10:27

問題の式 ① を変形して ② の式が出来たのですよね。

で、② の式が常に成り立つ条件が、③、④ ですよね。
つまり この「解党＆解説」を読めば 他の答えは「無い」と分かるのでは。