
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
C2とC1の交点のx座標は
C2-C1 = -2x^2+ax+b-x^2 = -3x^2+ax+b = 0
の解ですので、
-3x^2+ax+b = 0
の2つの解をα、β(α<β)とすれば
C2とC1で囲まれた部分の面積Sが
(*) S = ∫[α→β]-3(x-α)(x-β)dx
ここまではOKですね。
これ、直接計算すると大変なことになりますが、以下の公式
(#) ∫[α→β]-(x-α)(x-β)dx = {(β-α)^3}/6
があります。便利だし、証明大変なので、暗記してもいいかもしれないです。
実際(#)は
∫[α→β](x-α)(x-β)dx = ∫[α→β](x-α)(x-β)dx
= ∫[α→β](x-β+β-α)(x-β)dx
= ∫[α→β](x-β)(x-β)+(β-α)(x-β)dx
= ∫[α→β](x-β)^2+(β-α)(x-β)dx
= [{(x-β)^3}/3+(β-α){(x-β)^2}/2][β,α](xにβを代入すると0)
= [-{(α-β)^3}/3-(β-α){(α-β)^2}/2]
= -{(β-α)^3}/6
-3x^2+ax+b = 0の解がα、βだったので
二次方程式の解の公式使って、β-αを求めると
β-α = 2√(a^2+12b)/6
= √(a^2+12b)/3
= √{4t^2+2+1/(4t^2)}/3
= √{2t+1/(2t)}^2/3
= {2t+1/(2t)}/3
∴ β-α = {2t+1/(2t)}/3
あとは(*)(#)と組み合わせてSをtで表すことができます。
Sの最小値は、
Sをtで表すと、2t+1/(2t)が登場しますので、こいつに相加相乗平均を使えば出ます。
2t+1/(2t) ≧ 2
No.3
- 回答日時:
そうですか。
これって、微分積分に関する問題なので、「最小値」と言われて、なんかピンと来ませんか?
Sをtの関数として S(t) と書くことにして、
Sをtで1回微分したものを S’(t) と書くことにすれば、
S’(t)= 0 となるときの t を T と置けば、
S(T) が S(t)の極値になりますよね。
それが、たぶん、こたえになりそうだと、とりあえず思えばよいです。
極値は、極大値(最大値)か極小値(最小値)のどちらかですから、Tではない値を適当に代入したとき、もしも極値より大きい値が出てくれたら、極値は極小値だったということが言えます。
もしも、tで2回微分したものでSの「上に凸」「下に凸」の判定ができる、ということをすでに学校で教わっていたら、それを使うのが一番よいです。
2回微分した結果に、極値のところのt(=T)を代入したら負になるようだったら下に凸ということなので、前に述べた極値は極小値だったということが証明できたことになります。
No.2
- 回答日時:
こんにちは。
(1)
C1の傾きを表す関数は、y’= 2x
C2の傾きを表す関数は、y’= -4x+a
(t,t^2)における傾きは、
C1が 2t
C2が -4t+a
両者が垂直なので、傾きの積は -1
2t(-4t+a) = -1
変形すると
-4t+a = -1/(2t)
a = -1/(2t) + 4t
これで a はわかりました。
(t,t^2)は、C2 の上にあるので、
t^2 = -2t^2 + at + b
これに、a=… を代入すると、b も求まります。
(2)
C1 と C2 の2つの交点のX座標を求めます。
そのうち、左の交点のX座標を p、右の交点のX座標を q と置きます。
すると、
面積 = ∫[x=p⇒q](C2の方程式 - C1の方程式)dx
= ∫[x=p⇒q]{(-2x^2+ax+b) - x^2}dx
なぜこうなるかというと、C2は山があって、C1は谷がある形なので、間のところがC1とC2で囲まれるからです。
(3)
Sって何ですか?
No.1
- 回答日時:
(1)
C1 : y' = 2x
C2 : y' = -4x + a
2t * (-4t + a) = -1
-8t^2 + 2at = -1
2at = 8t^2 - 1
a = 4t - 1/(2t)
b = y + 2x^2 - ax = t^2 + 2t^2 - 4t^2 + 1/2
= 1/2 - t^2
(2)
y = -2x^2 + {4t - 1/(2t)}x + 1/2 - t^2
= -2 [ x^2 - {t + t - 1/(4t)}x + t^2 -1/4
= -2 ( x - t ){ x - t + 1/(4t)}
S = |∫[t~t-1/(4t)] (3x^2- ax - b )dx|
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