x,y,z軸との交点がa,b,cである平面の式は
x/a+y/b+z/c=1
である。
とあったので、これを自分で確かめてみようと思い、
次のように考えました。
x,y,z軸との交点がa,b,cである平面の式
→x,y軸との交点がa,bである直線の式と
y,z軸との交点がb,cである直線の式と
z,x軸との交点がc,aである直線の式とを
同時に満たす式?
ここまでで考え方が間違っているのですか?
このあと、次のように考えました。
それぞれ、式は順に
x/a+y/b=1
y/b+z/c=1
z/c+x/a=1
ここで間違っているのでしょうか
全部を足すと
2(x/a+y/b+z/c)=3
∴x/a+y/b+z/c=3/2≠1
どこで間違っているのでしょうか、
よろしく御願いしますorz
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
x-y-z 空間で 「x,y軸との交点がa,bである直線の式」は
x/a + y/b = 1 かつ z = 0
です。以下同様。
x/a + y/b = 1 は「x, y 軸との交点が a, b で、z 軸と並行な『平面』」です。
また、直線や平面を表現する方程式は「方程式を満たす点(x, y, z)の集合」を短縮して書いているだけなので、方程式を足し算して得られた式は
「元の3式(x/a+y/b=1、y/b+z/c=1、z/c+x/a=1)を同時に満たす点(x, y, z) が満足する関係の一つ」
でしかなく、その逆「得られた方程式(x/a+y/b+z/c=3/2)が満たす点が、3式(x/a+y/b=1、y/b+z/c=1、z/c+x/a=1)を満足する」は言えません。
最初の平面の方程式が3直線を含む(x/a + y/b = 1 かつ z = 0 を満たす点(x, y, z) は求める平面上の点)は間違いではありませんが、そこから平面の方程式を計算で求めるのは難しそうです。
確かめるだけであれば、(a, 0, 0) などが、x/a + y/b + z/c = 1 を満たすことを確かめて、直線上にない 3点を通る平面がただ一つであることを考えればよいでしょう。
ありがとうございます。
なるほど、理解できました!
代入して成り立つことはわかるのですが、
式変形などで導き出すことはできないのでしょうか
No.3
- 回答日時:
>式変形などで導き出すことはできないのでしょうか
疑問に答えていないかもしれないけれど・・・
x,y,z軸との交点をA,B,Cとします。また、
>x/a+y/b=1
等とあるのでa、b、c≠0とします。
直線ABは (x,y,z)=OA→+sAB→=(a,0,0)+s(-a,b,0)
直線ACは (x,y,z)=OA→+tAC→=(a,0,0)+t(-a,0,c)
なので求める平面OA→+sAB→+tAC→を成分で表すと
x=a-as-ta・・・(1)
y=bs ・・・(2)
z=tc ・・・(3)
(2)からs=y/b
(3)からt=z/c
(1)に代入してx=a-a(y/b)-(z/c)a
全体をaで割って整理するとx/a+y/b+z/c=1
No.2
- 回答日時:
3つの切片座標A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)から、直接、平面の方程式を求める方法です。
点(x0,y0,z0)を通る平面の方程式は、
l(x-x0)+m(y-y0)+n(z-z0)=0 (l,m,nは定数。同時に0にはならない。)
ですから、この平面は、点Aが通るので、(x0,y0,z0)=(a,0,0)とすると、次のようになります。
l(x-a)+my+nz=0 ・・・・・(A)
次に、この平面は、点B,Cを通るので、この座標を代入して、
l(0-a)+mb+n0=0 ⇒ -la+mb=0 ∴m=la/b ・・・・(B)
l(0-a)+m0+nc=0 ⇒ -la+nc=0 ∴n=la/c ・・・・(C)
を得ます。
式(B),(C)を式(A)に代入すると、
l(x-a)+lay/b+laz/c=0
x/a-1+y/b+z/c=0 (la≠0。∵l=0のとき、m=n=0)
∴x/a+y/b+z/c=1
を得ます。
このように、切片座標が変わっていれば、空間でも平面でもそれより1次元低いものの方程式(空間なら平面、平面なら直線)が簡単に得られます。
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