数IA平面図形で解けない問題があり困っています。
図形と式の種々の問題からなのですが、
問.xy平面上に、y=1/4x^2+xで表される曲線Cと
y=x+4で表される直線Lがある。
CとLとの交点P,Qの座標を求めよ。
また、C上の点RがPからQまで動くとする。
三角形PQRの面積が最大になるときの点Rの座標を求めよ。
という問題なのですが、とりあえず途中まで解きまして、
y=1/4x^2+xとy=x+4の交点は、
1/4x^2+x=x+4より、
1/4x^2-4=0
1/4(x+4)(x-4) したがってx=±4
それぞれy=x+4に代入して、答えは(4,8)(-4,0)
↑
ここまでは正解でした。
次に、△PQRが最大になるのは、LとRの距離が最大となるときなので、
R=( t, 1/4t^2+t)とおくと、条件より-4≦t≦4で
このとき、LとRの距離は、(点と直線間の公式よりL= y-x-4=0として、)
|t-(1-4t^2+t)-4|/√1+1
=|-1/4t^2-4|/√2
=|-(1/4t^2+4)|/√2
=1/4t^2+4/√2
=√2/8t^2+2√2この式が最大値をとるときなので、これを平方して、
√2/8(t^2+1/16)
・・・とこのあたりまで解いたのですが、模範解答を見たところ
答えは(0,0)となっていました。
上の式を解いても(0,0)にはならず、絶対値の外し方がおかしいのかなと
試行錯誤してみましたが上手くいかず途方にくれています・・
どうかお知恵をお貸し下さい。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
後半ですが、LとRの距離を
|t-(1-4t^2+t)-4|/√1+1
としていますが、その直前に書いている(点と直線間の公式よりL= y-x-4=0として、)
を使えば正しくは
|(1/4t^2+t)-t-4|/√1+1
になります。
以下、
|(1/4t^2+t)-t-4|/√1+1
=|1/4t^2+t-t-4|/√2
=|1/4t^2-4|/√2
となって、-4≦t≦4では絶対値の中身の1/4t^2-4はマイナスになりますから
絶対値を外す時にマイナスをつけて
=-(1/4t^2-4)/√2
=-√2/8t^2+2√2
となり、-4≦t≦4の時この値はt=0で最大値2√2になります。
なるほど・・・
根本から間違っていたんですね。
分かりやすく解説して頂いて本当にありがとうございます。
しっかりと反復して理解したいと思います。
No.2
- 回答日時:
>|t-(1-4t^2+t)-4|/√1+1
>=|-(1/4)t^2+4|/√2
>=|-(1/4)t^2+4)|/√2
>=1/4t^2+4/√2
絶対値の中でミスッています。
|t-((1/4)t^2+t)+4|/√1+1
=|-1/4t^2+4|/√2
=|16-t^2|/(4√2)
で、t=0 のとき、最大となる。
あっ申し訳ありません・・誤植です(汗)
御回答一行目の引用にあたります、
>|t-(1-4t^2+t)-4| ではなく
>|t-(1/4t^2+t)-4| でした・・
ですが掛けて整数にすれば計算しやすくなるのですね!
ありがとうございました。
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