この問題が分かるかたがいましたら、教えてください。

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No.6 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/09/01 11:30

(２)放物線 y=2-x² と直線 y=-x の交点を求めます。

2-x²=-x より、x=-1,2 斜線部分の右端をPとすると、P(2,-2)となります。

直線 y=-x を軸として斜線部分を回転させるので、この直線と放物線 y=2-x² 上の点Q(t,2-t²)の距離ｄを求めます。直線 x+y=0より、点と直線の距離の公式により、d=|t+2-t²|/√２

直線 x+y=0 をｚ軸とし、f(t)=|t+2-t²|/√２とすると、OP＝２√２より、
V＝π∫(z＝0→２√２){f(t)}²dzとなります。

点Q(t,2-t²)より、ｚ軸に垂線を下ろしたところの座標ｚをｔを用いて表します。グラフ上にかいてみて、ｚ軸とｘ軸のなす角が45°であることを利用します。点Q(t,2-t²)のｘ座標ｔとｙ座標 2-t² の長さの部分を45°回転してｚ軸と平行にすることで、その2つの長さの和や差として表せます。

点Q(t,2-t²)がｘ軸より上の部分にある場合は、点Qのｙ座標 2-t²>0
点Q(t,2-t²)がｘ軸より下の部分にある場合は、点Qのｙ座標 2-t²<0なので、
点Q(t,2-t²)がｘ軸より上の部分にある場合は、z=t/√２-(2-t²)/√２
点Q(t,2-t²)がｘ軸より下の部分にある場合は、z=t/√２+(t²-2)/√２

いずれにしても、
z=(t²+t-2)/√２と表されます。

dz/dt=(2t+1)/√２　z:０→２√２のとき、ｔ:１→２

V＝π∫(z＝0→２√２){f(t)}²dz
＝π∫(t＝1→２){|t+2-t²|/√２}²{(2t+1)/√２}dt
＝π/(2√２)∫(t＝1→２)(t⁴-2t³-3t²+4t+4)(2t+1)dt
＝π/(2√２)∫(t＝1→２)(2t⁵-3t⁴-8t³+5t²+12t+4)dt
=(91√２π)/60

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/27 14:07

①

放物線とｙ＝ｘ、Y=-xの交点は（１，１）、（－１，１）、（２、－２）、（－２、－２）
放物線をｘ＝√２－ｙにして、回転体の体積を求めます。斜線部の回転体の体積＝放物線のｙ＝１～－２まで
の体積と上の円錐の体積π＊１²＊１＊１/３と下の円錐の体積π＊２²＊２＊１/３の差です。
π∫[1~0]｜２－ｙ｜dy＋π∫[０~-2]｜２－ｙ｜dy=15π/2
よって、15π/2ーπ/３ー8π/３=9π/2
②
ｙ＝－ｘからｙ＝２－ｘ²までの距離はｙ＝－ｘとｙ＝ｘ－ｂ（ｂ≧０）の交点とｙ＝ｘ－ｂとY＝２－ｘ²
の交点の距離。
ｙ＝－ｘとｙ＝ｘ－ｂ（ｂ≧０）の交点はーｘ＝ｘ－ｂからｘ＝ｂ/2,y=ーb/2 交点（ｂ/2、ーb/2）
ｙ＝ｘ－ｂ（ｂ≧０）とY＝２－ｘ²の交点はｘ－ｂ＝２－ｘ²から交点(（-1+√(９＋４ｂ))/2,
（-1-2b+√(９＋４ｂ))/2)
2つの交点間の距離は√(（-1+√(９＋４ｂ))/2-ｂ/2)²＋(（-1-2b+√(９＋４ｂ))/2＋b/2)²）
＝（-1-b+√(９＋４ｂ))/√2
回転体積はπ/2∫[√2~0]（-1-b+√(９＋４ｂ))²db
=π/2[√2~0]（10b+3b²+b³/3-1/3*(4b+9)³/²-1/20*(2b-3)(4b+9)³/²
=(59+124√2)π/60

No.4 回答者： 確変 回答日時： 2019/08/27 08:09

(1) は, 誰が解いても 9π/2 になる.

(2) は, 解き方を工夫しないと面倒だね.
っていうか, 解き方を工夫しても, 退屈な計算に耐えなければならない.
答えは (91√2)π/60 かもしれないが, 責任は持てない.

何が疑問があったら, 質問してくれて構いません.

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/26 17:52

②

ｙ＝－ｘからｙ＝２－ｘ²までの距離はｙ＝－ｘとｙ＝ｘ－ｂ（ｂ≧０）の交点とｙ＝ｘ－ｂとY＝２－ｘ²
の交点の距離。
ｙ＝－ｘとｙ＝ｘ－ｂ（ｂ≧０）の交点はーｘ＝ｘ－ｂからｘ＝ｂ/2,y=ーb/2 交点（ｂ/2、ーb/2）
ｙ＝ｘ－ｂ（ｂ≧０）とY＝２－ｘ²の交点はｘ－ｂ＝２－ｘ²から交点(（-1+√(９＋４ｂ))/2,
（-1-2b+√(９＋４ｂ))/2)
2つの交点間の距離は√(（-1+√(９＋４ｂ))/2-ｂ/2)²＋(（-1-2b+√(９＋４ｂ))/2＋b/2)²）
＝（-1-b+√(９＋４ｂ))/√2
回転体積はπ/2∫[√2~0]（-1-b+√(９＋４ｂ))²db
=π/2[√2~0]（10b+b²+b³/3-1/3*(4b+9)³/²-1/20*(2b-3)(4b+9)³/²
=(417+640√2-((9+4√2)³/²＊(20-3(2√2-3)³/²)/60

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/26 12:56

①

放物線とｙ＝ｘ、Y=-xの交点は（１，１）、（－１，１）、（２、－２）、（－２、－２）
放物線をｘ＝√２－ｙにして、回転体の体積を求めます。斜線部の回転体の体積＝放物線のｙ＝１～－２まで
の体積と上の円錐の体積π＊１²＊１＊１/３と下の円錐の体積π＊２²＊２＊１/３の差です。
π∫[1~-2]（２－ｙ）dy=7π/2
よって、7π/2ーπ/３ー8π/３=π/2
②
ｙ＝－ｘからｙ＝２－ｘ²までの距離はｙ＝－ｘとｙ＝ｘ－ｂ（ｂ≧０）の交点とｙ＝ｘ－ｂとY＝２－ｘ²
の交点の距離。それをｆ（ｘ）として求め、π∫[√２～０]f(x)²ｄｘで解がでます。

No.1 回答者： GOMΛFU 回答日時： 2019/08/26 07:57

高校の数学の教諭の方がわかると思います。