直線の方程式で最小にする点

平面上に２点Ａ（－１，３）、Ｂ（５，１１）がある。

点Ｑが直線ｙ＝２ｘ上にあるとき、ＱＡ+ＱＢを最小にする点Ｑの座標を求めよ。

という問題でｙ＝２ｘについて点Ａと対称な点をとりその点と点Ｂをつないで求めるらしいのですが、なぜ対称な点と点Ｂをつなぐ線がＱＡ+ＱＢを最小にする点Ｑを
とれるのですか？教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： shogo1122 回答日時： 2008/04/22 21:14

http://mtf.z-abc.com/?eid=453494
直接の回答ではありませんが、参考にしてください。

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2008/04/22 22:26

点Ａの直線：ｙ-2ｘ＝0　‥‥(1)に関する対称点をＡ´とし、線分ＢＡ´と(1)との交点をＱとすれば、

(1)上の任意の点Ｑ´に関して、ＡＱ´＋ＢＱ´＝ＢＱ´＋Ａ´Ｑ´≧Ａ´Ｂ＝ＢＱ＋Ａ´Ｑ＝ＡＱ＋ＢＱ。
よって、Ａ´を求めると、Ａ´（3、1）。
従って、直線Ａ´Ｂの方程式は、2y＝-x＋5　‥‥(2)
(1)と(2)の交点Ｑが求めるものから、連立してＱ（1、2）。

所謂“ヘロンの問題”ってやっさ。　但し、計算はチェックしてね。

No.2 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/04/22 21:15

図を描いてみればわかります。

点Aの直線についての対象点を点A’、AA'と直線との交点をPとすると、
△APQと△A'PQは合同で、QA=Q'Aだとわかります。
従って、QA+QB=Q'A+QBとなりますから、これが最小になるのはQがA'B上にあるときです（三角不等式）。