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小学5年生の娘から質問された問題なのですが、
小学校レベルに限定して解くことができずに困っています。
(※塾の先生は小学生レベルでできると言っていたそうです)
どのようにして解いてあげたら良いのでしょうか?

設問は図で示された斜線の部分の面積を求めなさいという
問題でしたので、図を文章にしてみました。

【問題】
一辺10cmの正方形ABCDにおいて、
点Aを中心として正方形ABCDに内接する4分の1円を描く。
同様に、点Bを中心として正方形ABCDに内接する4分の1円を描く。
それら2つの4分の1円の交点をMとする。
その図形のAMBとCMDが斜線(面積を求める)部分になっています。

何卒、宜しくお願いいたします。

教えて!goo グレード

A 回答 (8件)

図にするとおそらく図(1)のブルーの部分の面積を求めよという問題ですね


これは小学生には少し難しいと思いますが
考え方として

(2)のオレンジの部分の面積に注目してください
同じ図形を4つ足すと、どうなりますか
正方形の面積からこの(2)を4つ足した面積を引くと中央の図形の面積が
求められます

よって(2)の面積を求めるのですが
(3)で正三角形に注目します

(2)の面積は(3)のオレンジと緑の面積(扇形)を求めて
正三角形の面積と合計して、大きな扇形の面積を引くと求められます。

あとは計算をして下さい。
「正方形と内接する2つの4分の1円によって」の回答画像8
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この回答へのお礼

とてもわかりやすい御説明ありがとうございます☆

お礼日時:2010/03/05 23:37

△AMBと△CMDの各面積の和を求めれば良いのですか?


ならば、この問題は完全に”とんちクイズ”ですね。

正方形の内部で、求めようとするのは△AMBと△CMDの面積ですが、逆にこれら以外の領域、すなわち、△AMDと△BMCの面積(両者は等しい)を考えたら、小学生にもわかります。

△AMDの面積は、辺AD(長さ10cm)を底辺とし、辺ADと点Mの距離(5cm)を高さとする三角形ですから、
△AMDの面積 = 10cm × 5cm ÷ 2 = 25cm^2 
(cm^2は、計算機の世界の一般ルールによって、cmの2乗、すなわち、平方cmを表します。)
△BMCの面積も、これに等しいのですから、
△AMDと△BMCの面積の和 = 25cm^2 × 2 = 50cm^2
です。

したがって、
△AMBと△CMDの面積の和
= 正方形全体の面積(100cm^2) - (△AMDと△BMCの面積の和)
= 50cm^2
となります。

ちなみに、点Mが正方形領域内部のどこにあっても、答えは一緒です。
”内接する4分の1円”やら、それらの”交点”などというのは、惑わすための小道具です。
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この回答へのお礼

px1949様
御回答ありがとうございます。
問題文の図を説明した私の文章が説明不足だったようで
御迷惑をお掛けしてしまい申し訳ございません。
AMBとCMDは共に三角形ではなく、正方形の辺(直線)と
正方形の中に描かれた4分の1円の弧によって囲まれた
部分のことを指しております。
御回答・アドバイスくださっている皆様へ三角形ではないかと
誤解を与えるような書き方をしてしまいましたことを
重ねてお詫び申し上げます。

お礼日時:2008/03/16 01:36

>その図形のAMBとCMDが斜線(面積を求める)部分になっています。



「その図形のAMBとCMD」って二つは三角形ですか?
それならルートも出てこないですが.
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この回答へのお礼

kabaokaba様
問題文の図を説明した私の文章が説明不足だったようで
御迷惑をお掛けしてしまい申し訳ございません。
AMBとCMDは共に三角形ではなく、正方形の辺(直線)と
正方形の中に描かれた4分の1円の弧によって囲まれた
部分のことを指しております。

お礼日時:2008/03/16 01:31

答えは50平方センチメートルです。

ルート3は出てきません。

ルートを使って解きます。
ABの中点をN、CDの中点をLとする。
三角形AMC=底辺AB×高さMN÷2
      =10×5√3÷2
      =25√3
三角形CMD=底辺CD×高さ(線分LN-線分MN)÷2
      =10×(10-5√3)÷2
      =50-25√3
これらの和は25√3+(50-25√3)
     =50です。

ルートを使わないでは正方形ABCDから
三角形AMDと三角形BMCを引いて説明するのが
一番いいと思います。
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この回答へのお礼

ai4mms様
御回答ありがとうございます。
問題文の図を説明した私の文章が説明不足だったようで
御迷惑をお掛けしてしまい申し訳ございません。
AMBとCMDは共に三角形ではなく、正方形の辺(直線)と
正方形の中に描かれた4分の1円の弧によって囲まれた
部分のことを指しております。

お礼日時:2008/03/16 01:33

>その図形のAMBとCMDが斜線(面積を求める)部分になっています。



△AMBと△CMDの和を求めよ、ということですか?

△AMBと△CMDの和を求めよ、であれば
等積変形を考えてみてください
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この回答へのお礼

i_noji様
御回答ありがとうございます。
問題文の図を説明した私の文章が説明不足だったようで
御迷惑をお掛けしてしまい申し訳ございません。
AMBとCMDは共に三角形ではなく、正方形の辺(直線)と
正方形の中に描かれた4分の1円の弧によって囲まれた
部分のことを指します。

お礼日時:2008/03/16 01:30

>中学生レベル(ルートを用いても良い)のであれば、


>解くこともできますし、娘にも説明できます。

つまり
「小学生の問題としては解くことはできないが,
中学生の問題としては解くことができている.
しかし,それを小学生の知識内で表現することができない」
ということなのですから,その「中学生の解答」を
書いてみたらどうでしょう.

もし最終結果に根号が残るようであれば
・そもそも小学生ではとけない
のです.ただし
・問題文に何か注意書きがあってそれを使えば解ける
ということもあります
例えば,
円周率は3.14か3を用いるというのは当然,
注意書きにあるはずですし
そのほかこっそり
「一辺が1の正三角形の面積は0.43である」
みたいな注意書きがあるのかもしれません.

ちなみに・・・私も解いてみましたけども,
答えに「ルート3」残りますよね。

ちなみに・・・・
>点Aを中心として正方形ABCDに内接する4分の1円を描く。
これ普通は「内接」とはいいません.
「Aを中心に(劣)弧BDを描く」かな・・・
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この回答へのお礼

kabaokaba様
御回答ありがとうございます。
私が娘に教えたやり方でも、kabaokaba様の御指摘のとおり
どうしても√が最後まで残ってしまいます。
根号が出てきてしまうということは中学生レベルですよね。
問題文には注意文や但し書きみたいなものもありませんでしたし…。

> 「Aを中心に(劣)弧BDを描く」かな・・・

私の表現の仕方が間違っていたようで、申し訳ありません。
問題用紙には、図と「斜線部分の面積を求めなさい。」しか
書かれていなかったもので、その図を文章でお伝えしたかったの
ですが、私の表現力・知識不足でした。大変失礼しました。

お礼日時:2008/03/16 01:25

えー、小学生がよく分からないのですが、一辺10cmの正三角形の


面積が計算に要ると思いますが、小学生は知っているのですか?
正三角形の面積を1/6円の面積から引いてできる部分を1/12円の面積
から引けば、両側の銀杏の葉の半分のような形になります。
これの2枚分を正方形から引けばよいのですが、最初に書きました
ようにこの計算には、正三角形の面積(√3a^2)/4が必要になります。
そして、この√3が、最後まで残りますので・・・・、
本当できるのですか?
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この回答へのお礼

oosaka_girl様
御回答ありがとうございます。
仰るとおり、一辺10cmの正三角形の面積の求め方(計算)や
それに伴って出てくる√3は小学校のレベルを超えているようでして
御指摘と同じように私も「小学生で本当にできるのだろうか?」と
感じているところなのです。
でも、娘が言うには「塾の先生はできると言った」とのことなので
頭を悩ませているところです。塾の先生の言い間違いかや出題ミスか
娘の聞き間違いならば良いのですが…。

お礼日時:2008/03/16 01:14

他の会員の方々、特に回答者の方々の迷惑にならないよう、以下、参考になさってください。


http://faq.okwave.jp/EokpControl?&tid=607824&eve …
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この回答へのお礼

中学生レベル(ルートを用いても良い)のであれば、
解くこともできますし、娘にも説明できます。
しかしながら、小学生レベルに限定されてしまうと
解くことも教えることもできなかったので、
『小学校レベルに限定して解くことができずに
困っています。』と質問欄に書かせていただいたのですが…。
マナー違反になってしまうのでしょうか???

お礼日時:2008/03/15 03:59

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