x=t^3+3t y=2t-t^2 (0≦t≦2)とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ です。 お願い

x=t^3+3t y=2t-t^2 (0≦t≦2)とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ です。
お願いしますm(_ _)m

No.2 ベストアンサー 回答者： お珍珍 回答日時： 2022/01/21 03:08

tが0のとき、xもyも0ですよね。

よってこの時、求めたい面積は0です！

また、tが2のとき、xは12だけどyは0。よってこの時も求めたい面積は0！


とりあえず、まず0以上2以下のtの範囲内において、
xの範囲とyの範囲を求めるしかないです。

x=t^3+3t=t(t^2+3)


t | 0 | 1 | 2 |
￣￣￣￣￣￣￣
x | 0 | 4 | 14 |

↑より、0≦t≦2のとき0≦x≦14


y=－t^2+2t=－(t－1)^2+1

↑この式をグラフ化すると、軸t=1、頂点(1,1)の上に凸の放物線になる。

グラフの概形からして、0≦t≦2のとき0≦y≦1



あとは、

tが0もしくは2のときに、面積は0になることに着目して、

t≠0もしくは2のときに面積がどうなるか考えレバいいです。


また、tが1のときxは4でyは1だから、
求めたい面積は4×1=4です！


そして次に、
tが0でも1でも2でもないときについても考える必要があります。

tが0でも1でも2でもないときというのは、
0<t<1, 1<t<2のときです。

さっきは、tが定数のときについて考えましたが、0<t<1, 1<t<2の条件下ではtの値は一つには定まりません、つまり定数ではなく変数。(ただし、t≠0,1,2)

変数なので、具体的に数を求めず、その式のままで計算。

なので、
0<t<1のとき x=t^3+3t, y= －t^2+2t

求めたい面積は、
xy= (t^3+3t)(－t^2+2t)
=－t^5+2t^4－3t^3+6t^2です。

複雑な式ですが、微分をして、増減表を書いて、グラフの概形を考えるしかないです。この式は5次式なので、何回か微分する必要があります。

そして、またtの値で場合分けをして、それぞれの場合での面積を求めないといけないですね。




1<t<2のとき も同様にして、
xy= －t^5+2t^4－3t^3+6t^2

これも微分して増減表書いて、グラフの概形求めてと、さっきと同じようにやります。


後半の計算が面倒ですね。
長くなったので省略しますが、こうやって解きます。

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2022/01/21 17:57

公式知らないの？

ｙdx/dt＝(2t-t^2)(3t^2+3) を(0≦t≦2)で積分するだけ。

No.5 回答者： akari31 回答日時： 2022/01/21 17:53

y=2t-t^2 (0≦t≦2)より、y≧0

S=∫｛t=0→2}ydx=∫｛t=0→2}y(dx/dt)dt
あとは、y(dx/dt)を、tで表せば良いのでは

No.4 回答者： お珍珍 回答日時： 2022/01/21 04:15

xy= －t^5+2t^4－3t^3+6t^2のグラフ

No.3 回答者： お珍珍 回答日時： 2022/01/21 03:10

>また、tが2のとき、xは12だけどyは0。

tが2のときxは14です。間違えてすみません。