三角形の中に接する半径の等しい2つの円

中学校の幾何の問題ですが、いろいろ考えてみてもどうしてもわからないので教えてください。

辺の長さがAB=13、BC=21、CA=20の三角形ABCの内部で、半径の等しい2つの円が接していて、1つの円はABとBCに、もう1つの円はBCとCAに接しています。
（図を添付します）
この円の半径を求めなさいという問題です。
どうぞよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/09/22 00:24

何年生の問題でしょうか？

中3数学の「三平方の定理」を利用すると、半径は42/13と求まります。
ただ今の時期、そこまで授業が進んでいるとも思えません。
なので中2数学までの知識で解く方法があるのかもしれません。

三平方の定理を利用した解法を一応書いておきます。
基本は「三角形に内接する円の半径の求め方」と一緒です。
「実際の△ABCの面積」と「円の半径rを用いて表した△ABCの面積」を求め、
この二つが一致することを利用します。

[1]
点Aから辺BCに向けて垂線AHを引きます(点Hは辺BC上の点)。
そして線分AHの長さを求めます。
このAHの長さを利用して、△ABCの面積を求めます。

[2]
左側の円の中心を点O、右側の円の中心を点O'とおきます。
まず△ABCを次の4つの図形に分割します。

△ABO
△ACO'
△AOO'
台形CBOO'

この4つの図形の面積を、円の半径rを用いて表します。

[3]
[2]で分割した4つの図形をくっつけると△ABCに戻るので、

4つの図形の面積の和 = △ABCの面積

という等式が立ちます。
これをrについて解けば答えがでます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
私立なので進度が速くて、ちょっと前に三平方の定理を習ったところです。
この方法で分かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/22 15:33

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/09/22 00:31

半径をr,AからBCに下ろした垂線の足をHとしAH=hとおくと

△ABCの面積Sはヘロンの公式から
S=126 …(1)
S=21h/2 から
h=12 …(2)
またSを三角形と長方形に分割して面積を加え合わせることにより
S=(13r/2)+(20r/2)+{(21-2r)r/2}+2r^2+{2r(h-r)/2} …(3)
(1),(2)を(3)に代入してrを求めれば良いですね。

後は自分でできるかと思いますのでやってください。

この回答へのお礼

ヘロンの公式は習っていませんが、hを求めた後はもう一人の方が教えてくださったのと同じやり方ですよね。
よくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/22 15:43