x=3cost - cos3t y=3sint - sin3t で積分で面積を求める問題なのですが

次のように媒介変数表示されたxy平面上の曲線をCとする
x=3cost - cos3t y=3sint - sin3t　0≦t≦π/2
(2) Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ (2016　東工大）
この問題で解答は添付画像のようになっているのですが
グラフで見ると楕円なので
x=0から2√2までを積分した面積から2から2√2まで積分した面積を
引いています。それはわかるのですが、x＝２～2√2
の範囲はｙの値が２つある（1つに定まらないので）ので
こういう場合積分できるのでしょうか？どっちの
yの値をとるかわからないのではないでしょうか？

どなたかご教授ください。お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/23 11:07

2≦xの範囲で、図では同じｘの値に対して、ｙが2つあるので

模範解答は、きちんとそれらをy1とy2に分けて考えているじゃないですか！
詳しく調べてみると　ｔの範囲が０～π/4では
xは2~√2
ｙは0~√2
ゆえに　
∫[０→π/4]g(t)f'(t)dt はグラフの　(2,0)~(2√2,√2)までの部分の下部分の面積を表しています！
同様に分析すると、∫[π/2→π/4]g(t)f'(t)dtは　(2√2,√2)より上部分の面積です

この回答へのお礼

y1,y2と分けているのはそのためなんですね。なるほど。
よくわかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2020/09/23 11:19

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/09/23 11:14

回答例は以下にあります。

Ｓ＝∫ｙｄｘで求めるのでそのようなことになります。
Ｓ＝∫ｘｄｙで求めれば上手く行きます。
http://kumamoto.s12.xrea.com/N/TKdai/TKdai_2016. …

この回答へのお礼

y軸で考えれば理解できました。ありがとうございます。

お礼日時：2020/09/23 11:18