三角関数

三角形ABCにおいて、
AB＝3、BC＝7、CA＝5である。角BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。
その時の、線分ADの長さはどうなるか。
教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/11/06 06:08

△ABCの外接円をかき、ADの延長と外接円の交点をE、AD=x とする。

ADは∠BACの二等分線なので、BD:DC=AB:AC=3:5
BD=BC×(3/8)=7×(3/8)=21/8
DC=BC×(5/8)=7×(5/8)=35/8

△ABDと△AECにおいて、
∠BAD=∠EAC（ADは∠BACの二等分線）
∠ABC＝∠AEC（弧ACに対する円周角）
よって、
△ABD∽△AEC
これより、
AB:AE=AD:AC
3:AE=x:5
xAE=15……①

△ABDと△CEDにおいて、
∠BAE=∠BCE（弧BEに対する円周角）
∠ABC＝∠AEC（弧ACに対する円周角）
よって、
△ABD∽△CED
これより、
AD:CD=BD:ED
x:(35/8)=(21/8):ED
xED=735/64……②

①－②
xAE－xED=15－(735/64)
x(AE－ED)=(960/64)－(735/64)
AE－ED＝AD=x より、
ｘ²=225/64
x=15/8

AD=15/8

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/11/06 09:37

余弦定理より、

cos∠ABC=(9+49-25)/42=11/14、ＢＤ＝21/8から
ＡD²＝９＋441/64-63/4＊11/14＝９＋441/64-693/56=1575/448
AD=15/8

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/05 23:21

角BACをθとすると、余弦定理より、

BC^2=AB^2 + CA^2 - 2AB・CA・cosθ
49=9+25-30cosθ
30cosθ=-15
cosθ=-1/2
θ=(2/3)π
二等分線の角度はπ/3

角の二等分線の性質より、
AB:CA=BD:DC
3:5=BD:DC
BC=7より、BD=21/8, DC=35/8

ADの長さは、余弦定理より、

BD^2=AB^2 + AD^2 - 2AB・ADcos(π/3)
441/64=9+AD^2 - 3AD
AD^2 - 3AD -135/64=0
(AD-(3/2))^2 - 9/4 - 135/64=0
(AD-(3/2))^2=279/64
AD-3/2=3√31/8
AD=(12+3√31)/8