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∫√(1+4x^2)dxの解き方を教えてください、またどうして∫√(1+x^2)dx=1/2{x√(1+x^2)+log(x+√(1+x^2))}+となるのかを教えてください

gooドクター

A 回答 (5件)

← A No.1 補足


不定積分ができたなら、定積分は代入計算にすぎない。
∫√(1+4x^2)dx = (x/2)√(1+4x^2) + (1/4)log(2x+√(1+4x^2)) + (積分定数)
の右辺に、x=2 と x=0 を代入して、引き算しよう。
不定積分を置換積分で計算した後、変数を x に戻さないでいると、
4=tanθ となる θ の値は何だ? という所で、詰まってしまうかもしれないが。
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そうだね。


あとは、cos の符号に注意して
θ の範囲を適切にとる ことの
説明を添れば、完璧。
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>∫√(1+4x^2)dxの解き方を教えてください、∫[0~2]√(1+4x^2)dx



>またどうして∫√(1+x^2)dx=1/2{x√(1+x^2)+log(x+√(1+x^2))}+となるのか
部分積分です。
f'(x)=1,f(x)=x ,g(x)=√(1+x^2),
g'(x)=(1/2)(1+x^2)^(-1/2)(2x)=x/√(1+x^2),
∫√(1+x^2)dx
=x√(1+x^2)-∫{x^2/√(1+x^2)}dx
=x√(1+x^2)-∫[{(1+x^2)-1}/√(1+x^2)]dx
=x√(1+x^2)-∫√(1+x^2)dx+∫{1/√(1+x^2)}dx
2項目を移項すると
2∫√(1+x^2)dx
=x√(1+x^2)+∫{1/√(1+x^2)}dx
∫{1/√(1+x^2)}dxの積分
x=tanθとおくと,dx=sec^2θdθ
√(1+x^2)=√(1+tan^2θ)=√sec^2θ=secθ
=∫sec^2θdθ/secθ
=∫secθdθ
=∫dθ/cosθ
=∫(cosθ/cos^2θ)dθ
=∫{cosθ/(1-sin^2θ)}dθ
ここで、sinθ=tとおくと、dt=cosθdθ
=∫{1/(1-t^2)}dt
部分分数に分けると、
=(1/2)∫{1/(1-t)+1/(1+t)}dt
=(1/2){-log|1-t|+log|1+t|}+C
=(1/2)log|(1+t)/(1-t)|+C
=(1/2)log|(1+sinθ)/(1-sinθ)|+C
ここで、
(1+sinθ)/(1-sinθ)
=(1+sinθ)^2/(1-sin^2θ)
={(1+sinθ)/cosθ}^2
={(1/cosθ)+(sinθ/cosθ)}^2
={secθ+tanθ)^2
={x+√(1+x^2)}^2
よって、
∫{1/√(1+x^2)}dx
=(1/2)log{x+√(1+x^2)}^2+C
=log|x+√(1+x^2)|+C
よって、
2∫√(1+x^2)dx
=x√(1+x^2)+log|x+√(1+x^2)|+Cより、
∫√(1+x^2)dx
=(1/2){x√(1+x^2)+log|x+√(1+x^2)|}+C

>∫[0~2]√(1+4x^2)dx
u=2xとおくと、du=2dxより、dx=(1/2)du x:0→2は、u:0→4
=∫[0~4](1/2)√(1+u^2)du
上の式に代入すると、
=[(1/2)×(1/2){u√(1+u^2)+log|u+√(1+u^2)|}][0→4]
=(1/4){4√(1+4^2)+log|4+√(1+4^2)|}
=√17+(1/4)log|4+√17|
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「解けなかった」って~のは, 具体的になにがどうなって「解けなかった」の?

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2x = tanθ と置いてみたら、


素敵なことが起こると思う。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
すいません、質問悪かったです。不定積分の問題なら2x = tanθ と置いて解けると思うんですが
本当の問題は∫[0~2]√(1+4x^2)dxの定積分なので、2x = tanθとおいても解けなかったです。

ちなみに∫[0~2]√(1+4x^2)dxの解答は√17+(1/4)log(4+√17)になるらしいのですがどうやっても答えがでないんです

お礼日時:2012/06/08 21:54

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