A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
#2です。
x=2/cost としたのは、
#3さんの回答の、y=√(x^2-4) と y=2tanθ を合わせたものです。
2tanθ=√(x^2-4)
x^2=(2tanθ)^2+4=4/cos^2θ
x=2/cosθ
それより、#2の回答が間違ってました。
(sint/cos^2t)'=1/cost+sin^2t/cos^3t
でした。
1/cost の積分は、
1/cost=cost/cos^2t=cost/(1-sin^2t)=(1/2){cost/(1+sint)+cost/(1-sint)}
より、
∫(1/cost)dt=(1/2){log(1+sint)-log(1-sint)}
となります。
No.4
- 回答日時:
∫√(x^2-4)dx=∫(x^2-4)/√(x^2-4)dx
=∫(x^2-2-2)/√(x^2-4)dx
=∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx -∫2/√(x^2-4)dx
=I1 + I2
ここで
{x√(x^2-4)}'=√(x^2-4) +(x^2)/√(x^2-4)=2(x^2-2)/√(x^2-2)
I1=∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx =(1/2)x√(x^2-4)+C1
{log|x+√(x^2-4)|}'={1+x/√(x^2-4)}/{x+√(x^2-4)}=1/√(x^2-4)
I2=-∫2/√(x^2-4)dx
=-2log|x+√(x^2-4)|+C2
∴I=I1+I2=(1/2)x√(x^2-4) -2log|x+√(x^2-4)|+C (C=C1+C2,積分定数)
No.3
- 回答日時:
y = √(x^2-4) と置いてみましょう。
dy/dx = {(1/2)(x^2-4)^(^1/2)}(2x) = x/y より、
∫√(x^2-4)dx = ∫y dx = ∫x dy = ∫±√(y^2+4)dy です。
最右辺の積分が y = 2 tanθ で置換積分できることは、
有名な公式かと思います。
ありがとうございます。
はい。tanやSinを使った置き換えは私も学校で教わりました。最初にこの問題を見たとき、ルートの中の式が二乗と二乗だったので私もこの公式だと思い友人と、Alice44さんの様に解いたのですが上手くいきませんでした…。
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