積分 問題 1/tan^3x

積分　問題　1/tan^3x　

∫1/tan^3x　dxについて。
どのように解けば良いでしょうか？
tan^2xまではsin^2x/cos^2xとして解けたのですが、
まったく解き方がわかりません。。。

ご回答よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/01/11 16:36

#1です。

A#1でミスがありましたので訂正します。

>I=∫{t^(-3) -t^(-1)}dt
>= (-1/4)t^(-4)-ln|t| +C
= (-1/2)t^(-2)-ln|t| +C

)もとのxに戻して

>I=-{1/(sin(x))^4}-ln|sin(x)| +C
I=-(1/2){1/(sin(x))^2}-ln|sin(x)| +C

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2011/01/11 16:40

(1/tan^2x)'

=(cos^2x/sin^2x)'
=-2cosx/sinx-2cos^3x/sin^3x
=-2/tanx-2/tan^3x
より、
∫(1/tan^3x)dx
=-∫(1/tanx)dx-1/(2tan^2x)
=-ln|sinx|-1/(2tan^2x)+C

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2011/01/11 16:24

I=∫(cos(x))^3/(sin(x))^3 dx

sin(x)=tと置換すると　cos(x)dx=dt

I=∫{(1-(sin(x))^2)/(sin(x))^3}*cos(x)dx

=∫(1-t^2)/t^3 dt
=∫{t^(-3) -t^(-1)}dt
= (-1/4)t^(-4)-ln|t| +C

もとのxに戻して

I=-{1/(sin(x))^4}-ln|sin(x)| +C

ここで ln(X)　は　Xの自然対数です。