三角関数の和

(100+50*sin(2*pi*(0.8/3)*ｔ))^1.3
+(100+50*sin(2*pi*(0.8/3)*ｔ+2*pi/3))^1.3
+(100+50*sin(2*pi*(0.8/3)*ｔ+4*pi/3))^1.3

をPCで計算すると、グラフの形が

sin(2*pi*0.8*ｔ)
のグラフに似た形になるのですが、
理由が分かりません。

どこに目をつけて計算すれば分かるのでしょうか？
よろしくお願いします。

なお、最初の３つの式で、100の部分が0でも
周期に関しては似たような状況が生まれます。
この理由もわかりません。

以上、の２点に関して、教えてください。
宜しくお願いします。

pi　はπ（パイ）を意味します。

質問者からの補足コメント

• グラフです。

  
    補足日時：2023/06/17 21:18

• グラフです。

  
    補足日時：2023/06/17 21:21

• 最初のグラフは

  
    補足日時：2023/06/17 21:59

• 足した後のグラフは、

  
    補足日時：2023/06/17 22:00

• 計算してみました。
  
  　{100+50sin(ωt)}¹.³
  　　　≒100¹.³{1+(1.3/2)sin(ωt)+(1.3・0.3/8)sin²(ωt)
  　　　　　+(1.3・0.3・(-0.7)/48)sin³(ωt)+…}
  　　　≒398.1{1+0.65sin(ωt)+0.04875sin²(ωt)
  　　　　　　　　　-0.0056875sin³(ωt)+・・・}
  他も同様となり、
  　f(t)≒3*398.1+398.1*0.04875・(3/2)+ 398.1*0.0056875(3/4)sin(3ωt)
  　　　≒1194+29.11+1.698145sin(3ωt)
  　　　≒1223.411+1.69814512sin(3ωt)

    補足日時：2023/06/18 19:50

No.4 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/19 06:52

計算間違いしました。

なお、計算すると
　sin(3nwt) n:1,2,3・・・
の項が出てきます。その他の項はなさそうですが、確証は
諦めました。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
計算してみます。

お礼日時：2023/06/22 07:06

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/17 22:00

1.

　a=2π・0.8/3
　f(t)={100+50sin(at)}¹.³
　　　　+{100+50sin(at+2π/3)}¹.³
　　　　+{100+50sin(at+4π/3)}¹.³
　g(t)=sin(3at)
とおく。

マクローリン展開して
　{100+50sin(at)}¹.³
　　　≒100¹.³{1+(1.3/2)sin(at)+(1.3・0.3/4)sin²(at)
　　　　　+(1.3・0.3・(-0.7)/12)sin³(at)+…}
　　　≒398.1{1+0.65sin(at)+0.0975sin²(at)
　　　　　　　　　-0.02275sin³(at)+・・・}
他も同様となり、
　f(t)≒3・398.1+0.0975・(3/2)+0.02275(3/4)sin(3at)
　　　≒1194+0.146+0.017sin(3at)
　　　≒1194+0.017sin(3at)
となって、微小項を無視すれば3倍角の成分のみとなる。

2.
>100の部分が0でも<
●マイナスの実数べきは計算できず。


3.
計算

　sin(at)+sin(at+2π/3)+sin(at+4π/3)=0
　sin²(at)+sin²(at+2π/3)+sin²(at+4π/3)=3/2

つぎに
　sin³x=(3sinx-sin3x)/4
だから、sinの3乗の和のうち、sinxの和は0となり、sin3xの和は
　sin(3x)+sin(3(x+2π/3))+sin(3(x+4π/3))=3sin(3x)
となるから
　sin³(at)+sin³(at+2π/3)+sin³(at+4π/3)=-(3/4)sin(3at)
となる。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

私は、
sin²(at)+sin²(at+2π/3)+sin²(at+4π/3)=3/2
この計算を間違えていて、
定数にならなかったので、
３乗の計算はしませんでした。

助かりました。

お礼日時：2023/06/17 22:10

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/17 21:32

＞ 1.3乗の部分が、1.01乗でも起こります。

＞ １乗の時は、
＞ 三角関数の部分は加法定理で消えてしまって、
＞ 直線（f(u) =300）になるのですが、

それって、1.3乗を一次テイラー近似すると
(テイラー展開の)0次項の三角関数部分が加法定理で消えて、
１次項が残るって話をしているの？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

PCでの計算の結果、
1.3乗や1.001乗や3.3乗などの場合は、
平均値を引いたグラフは、
もとのグラフの周期に対して、
周期が1/3になったようなグラフになったのですが、
その理由がわからないのです。


１乗の時は、
＞ 三角関数の部分は加法定理で消えてしまって、
＞ 直線（f(u) =300）になるのですが、
については、
(100+50*sin(2*pi*(0.8/3)*ｔ))^1
+(100+50*sin(2*pi*(0.8/3)*ｔ+2*pi/3))^1
+(100+50*sin(2*pi*(0.8/3)*ｔ+4*pi/3))^1
＝300
という意味です。

お礼日時：2023/06/17 21:57

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/17 19:01

f(u) = ( 100 + 50 sin(u) )^1.3

　　　+ ( 100 + 50 sin(u+(2/3)π) )^1.3
　　　+ ( 100 + 50 sin(u+(4/3)π) )^1.3
が sin(u) に似てるか？ って話ですよね。
目で見た感じは似てるっちゃあ似ているが、
それはまあ目で見た感じの話ですからねえ...
共通点は u について周期 2π を持つことと
基本周期の中に極大値と極小値が1個づつあること
くらいだけなんじゃないでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
グラフは、平均値を引いた時の形を考えています。
sin(ωｔ+α)
が最初のグラフ
だったとすると、
足した結果から平均値を引いたグラフが、
sin(３ωｔ+β)
のようになる。
周波数が３倍になったようなグラフになる。
のです。
これは、
1.3乗の部分が、1.01乗でも起こります。
１乗の時は、
三角関数の部分は加法定理で消えてしまって、
直線（f(u) =300）になるのですが、
1.001乗になっても、周波数が３倍のグラフが出てきます。

お礼日時：2023/06/17 21:17