
ラプラス変換の勉強をしていたら,
sin(ωt) = (1/2j) * {e^(jωt) - e^-(jωt)}
という式が当り前のように使われているのですが,これって何か公式みたいな
感じで使われているのでしょうか.
ちなみにこれって,
e^(at) = sin(at) + j*cos(at)
から導けますよね.
でも,この左辺からどうやったら右辺が導き出されるのでしょうか.
導出過程を示してくださる方がいましたら,よろしくお願いします.
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
e^(iθ)=cosθ+i*sinθ (*)
これは、オイラーの公式と言います。この公式の導き方には、いくつかの方法がありますが、一番分かりやすい方法は、テーラー展開を用いる方法です。sinx、cosxのテーラー展開は、それぞれ、
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+… (1)
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+… (2)
ですね。また、e^xのテーラー展開は、
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!+x^6/6!+x^7/7!+… (3)
ですね。ここで、e^iθのテーラー展開を考えたいのですが、このとき、iを単なる係数とみなし、
de^ix/dx=ie^ix (4)
と決めてe^ixをテーラー展開します。すると、(3),(4)から、
e^ix=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+ix^5/5!-x^6/6!-ix^7/7!+… (5)
となります。(1),(2),(5)を見比べれば、(*)が成立しています。
No.3
- 回答日時:
No.2です。
No.1さんの回答をみて思ったんですが、
私、見当違いな回答してますね?
すみませんでした。
>e^(at) = sin(at) + j*cos(at)
>sin(ωt) = (1/2j) * {e^(jωt) - e^-(jωt)}
の証明しろって事かと思ったんです…
No.2
- 回答日時:
私の慣れている系で説明させてもらいます。
e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
e^(-ix) = cos(x) - i*sin(x)
この形でsin(ωt) = (1/2j) * {e^(jωt) - e^-(jωt)}を書き直すと
sin(x) = (1/2i) * {e^(ix) - e^(-ix)}
です。
e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
e^(ix) - cos(x) = i*sin(x)
sin(x) = (1/i) * {e^(ix) - cos(x)}
となります。
ここで
{e^(ix) - cos(x)}= {cos(x) + i*sin(x)} - cos(x)
= i*sin(x)
となります。
次について考えます
(1/2) * {e^(ix) - e^(-ix)}= {cos(x) + i*sin(x) - cos(x) + i*sin(x)}/2
= i*sin(x)
パソコンだと分りにくいかもしれませんが、紙に書いてみてください。
証明完了しています。
って言っておいて間違ってたらごめんなさい
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