オイラーの公式

オイラーの公式

exp[iθ]=cosθ-isinθなのに、
なんでexp[iωt]=sin(ωt)と書けるんでしょうか？
知らず知らずのうちに電気回路で使っていましたがなんでですか？
電気回路ではωtを使うのでθをωtにしました。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/03 16:58

#1さんが書かれている通り質問者さんの書いたオイラーの公式は間違いです。

誤：exp[iθ]=cosθ-isinθ
正：exp[iθ]=cosθ+isinθ

>なんでexp[iωt]=sin(ωt)と書けるんでしょうか？
Im{exp(iωt)}=sin(ωt)です。

電気回路、正確には交流理論でiω（jω、iは電流の記号と区別がつかない為jを使う）扱うのは単一周波数（角周波数）の定常状態です。なので
sin(ωt)またはcos(ωt)を電源とする場合は e^(jωt)として扱い、結果の式でIm(・)またはRe(・)を取る事をします。交流理論では、5sin(ωt)を電源とすると5e^(jωt)として扱い、e^(iωt)も回路方程式に共通なので、省略するのが普通です。すなわち、交流電圧は最大値または実効値だけを使って表し、コンデンサーのインピーダンスを1/(jωC)、コイルのインピーダンスをjωLとして、回路方程式をたて、電流や電圧を求めます。
求めた電流Iや電圧Vにe^(jωt)をかけてその実部またが虚部をとってsin(ωt)またはcos(ωt)の時間関数に戻してやります。
e^(jωt)で扱うことで、コンデンサーやコイルのインピーダンスにより発生する位相項を簡単に扱えるようになります。
例
V=(R+iωL)e^(jωt)=√{R^2+(ωL)^2}e^(jωt+jθ)
ただし、tanθ=ωL/R
これを時間領域の関数に戻せば電源の位相を基準にして電源電圧をEcos(ωt)とした場合は
実部を取って
v(t)=√{R^2+(ωL)^2}cos(ωt+θ)
とできるわけです。

この回答へのお礼

お二方ともありがとうございました。

お礼日時：2010/06/06 01:51

No.3 回答者： hima88_han 回答日時： 2010/06/04 13:23

#2(info22)さん、修正有り難う御座いました。

最初に書いた式は間違っていました。
　　exp(iωt)=Im(sin(ω))ーーー＞　Im(exp(iωt))=sin(ωt)
が正確です。
間違ってごめんなさい。

No.1 回答者： hima88_han 回答日時： 2010/06/03 08:46

> exp[iθ]=cosθ-isinθなのに、

まず、sinの前にはマイナスはつきません。
> なんでexp[iωt]=sin(ωt)と書けるんでしょうか？

厳密には、上の式は正しくなく
　　exp(iωt)=Im(sin(ω))
です。すなわち、複素正弦関数exp(iωt)の虚数部がsinとなります。

一般に交流回路では、正弦波信号が良く出てきますが、振幅と位相情報も
含んだ表現として、複素正弦信号（複素指数関数）exp(iωt）として
表して計算する方が圧倒的に楽で、便利だからです。
電圧信号を複素正弦信号として表現して計算して、最後の結果の
実数部あるいは虚数部をとれば、実際の解答となります。