三角関数の合成

sinθ＋√3cosθの合成を行うとき、

(1,√3)をとって考えますよね。

なぜ(√3,1)ではダメなのでしょうか？

回答よろしくお願いします！

No.3 回答者： kokokina 回答日時： 2014/11/03 18:09

たぶん

sinθ+√3cosθ=2sin(θ＋π/3)
のときの話ですよね。
どのように三角関数の合成を考えていますか？合成の基礎にあるのはsinの加法定理

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
です。これをsinθ+√3cosθと見比べてください。
するとA=θとみることができれば
cosB=1、sinB=√3となることがわかるはずです。

この先は単位円上にある三角形を使って考えます。
sinとは三角形の高さに、cosとは三角形の横の長さに相当するので(1,√3)をとって考えるわけです。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2014/11/03 11:02

そういうときは「やってみればいい」だけです

(1,√3)をとるということは
(1/2, (√3)/2)=(cosA, sinA)として（A=60度だけども文字のままのほうが見通しがいい）
sinθ＋√3cosθ
=2(cosA sinθ + sin A cosθ)
=2(sinA cosθ + cosA sinθ)
=2sin(A+θ)
=2sin(θ+A)
=2sin(θ+60度)

とでもするわけでしょう

(√3,1)だったら
((√3)/2,1/2)=(cosB, sinB) として（B=30度だけども文字のままのほうが見通しがいい）
sinθ＋√3cosθ
=2(sinB sinθ + cosB cosθ)
=2cos(θ-B)
=2cos(θ-30度)

でしょう

sin X = cos(X-90度)
なんだからどっちも正解．
この関係があるんだからcosでもsinでも合成は表現できるし
そもそも鋭角の三角比までもどれば
cosとsinが本質的には同じで，
「90度でひっくりかえる」（たぶんに情緒的だけども意味は通じると思う）のは
目でもわかると思います

たぶん合成公式を真に受けてるんだろうけど
あれは公式なんか覚えるよりも
三角関数の加法定理に持ち込むだけという本質を理解してれば
いちいち公式を持ち出すことなんかはないものです
＃それをいうと，倍角とか積和，和積もそうなんだけど
＃倍角は使用頻度が高い（数IIIなんかでは特に）ので覚えておくと時間短縮にはなるけど
＃私は正確には覚えてない．すぐ計算する方法があるから

No.1 回答者： kamobedanjoh 回答日時： 2014/11/03 10:16

御質問の意味が判然としません。

１sinθ＋√3cosθの合成を行うときは、(1,√3)をとって考えます。
√3cosθ＋１sinθの合成を行うときは、(√3,1)で考えます。