lim[x→3]√(x+1) = 2
を証明するのに
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
では
δ= 4ε-ε^2
とすればいいとあるのですが、回答者の方の証明の方法が私の持っている本(「イプシロ-ンデルタ」田島一郎著)とは少し違うので気になります。この本には
lim[x→1]√(x) = 1
∀ε>0,∃δ>0 s.t. 0 < |x-1| <δ⇒ |√(x)-1| <ε
|√(x)-1| = |x-1|/|√(x)+1| <δ/|√(x)+1|
x≧0 なので
|√(x)+1| ≦ √(x) + 1 ≧ 1
∴|√(x)-1| < δ/|√(x)+1| ≦δ/1 = δ
∴δ= ε
という例が載っているので、それにならって以下のようにしたのですが、δ= 2εになります。どこかおかしいところがあるのでしょうか。
lim[x→3]√(x+1) = 2
∀ε>0,∃δ>0 s.t. 0 < |x-3| <δ⇒ |√(x+1)-2| <ε
|√(x+1)-2| = |( (√(x+1)+2)(√(x+1)-2) )/ (√(x+1)+2)|
= |x-3|/√(x+1)+2) < δ/(√(x+1)+2)
x+1 ≧0 なので
|√(x+1)+2| ≦ √(x+1) + 2 ≧ 2
|√(x+1)-2| < δ/(√(x+1)+2) ≦ δ/2
∴δ= 2ε
No.2
- 回答日時:
>δ= 4ε-ε^2
ε < 2
を前提にした式なんでしょうね。
「ε = 2 → δ は存在せず」はまずいけど
εに上限を設けていけないわけではないので・・・
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