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2つの行列A、Bについて

 AB=E ⇒ BA=E

は真、と思うのですが、証明はどのようにすればよいのでしょうか。

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A 回答 (8件)

数学の証明では証明できません。



式としては、
(A×B=B×A)=E
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一般に証明できません


結合法則の成り立つ代数系で証明できる必要十分条件は
BX=E なるXつまりBの右逆元の存在です

十分条件:
BA=BAE=BA*BX=B*AB*X
=BX=E

必要条件: 
必要ないですね!
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コピーミス



正しくありません
Aが
[0 1 0]
[0 0 1]
であり
Bが
[0 0]
[1 0]
[0 1]
の場合
A・Bが
[1 0]
[0 1]
となりますが
B・Aが
[0 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
となります
ただしAとBが正方行列の場合にはA・B=E⇒B・A=Eです

今は逆行列という概念がない時代だとすると
Bの余因子行列を|B|(≠0は明らか)で割ったものをB’としたとき
B・B’=Eとなるから
A・B=Eの両辺に右からBをかけ左からB’をかけると
B・A・B・B’=B・E・B’
よって
B・A=E
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正しくありません


Aが
[0 1 0]
[0 0 1]
であり
Bが
[0 0]
[0 0]
[0 1]
の場合
A・Bが
[1 0]
[0 1]
となりますが
B・Aが
[0 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
となります
ただしAとBが正方行列の場合にはA・B=E⇒B・A=Eです

今は逆行列という概念がない時代だとすると
Bの余因子行列を|B|(≠0は明らか)で割ったものをB’としたとき
B・B’=Eとなるから
A・B=Eの両辺に右からBをかけ左からB’をかけると
B・A・B・B’=B・E・B’
よって
B・A=E
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 問題の前提についてですが、


  ・ E は n 次単位行列である。
  ・ A, B は n 次正方行列である。
  ・ A, B の可逆性は仮定しない。
ですか?
 とすると、これは見かけより難しい(手間がかかる)問題です。
 私の手持ちの本では、
   齋藤正彦著「線型代数入門」東京大学出版会 ISBN4-13-062001-0
の P48 に、次のような定理が載っていますので、この系になるでしょう。
「 n 次正方行列 A に対し、XA = E となる n 次行列 X が存在すれば A は正則である。AX = E となる X の存在を仮定しても同様である。」
 証明は行列の基本変形を利用しています。

  #4 さんの証明は間違いだと思いますので、指摘させていただきます。
  AX = A より X が単位元だといっておられますが、ある1つの A だけで AX = A が成り立っていても X が単位元とは言えないのではないでしょうか?例えば、A と X を (1,1) 成分だけが 1 で他は 0 の正方行列とすると、 AX = A ですから。
 単位元 E の定義は、<全ての> A にたいして AE = EA = A が成り立つことだったと思います。
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群論がわかっていれば、比較的簡単に証明できます。


結合法則と単位元の一意性を使います。

A=EA=(AB)A=A(BA)   ・・・(1)

よりBA=Eがわかります。 ・・・(2)

(1)の説明
・最初の等号は単位元(単位行列)の性質から
・2番目の等号はAB=Eより
・3番目の等号は結合法則より
(2)の説明
・単位元の一意性より(掛けても同じになるのは単位行列だけ)
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Eは単位行列ですよね?


だとすると、det(AB)=det(E)=1より、detA≠0で、
A^-1が存在し、AB=E ⇒B=A^-1E
           ⇒B=A^-1E=A^-1
           ⇒BA=E(Q.E.D.)
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交換法則ですね。


行列は確か交換法則が成り立たなかったと覚えて
ます。参考URLにも書いてます。

参考URL:http://www.geocities.co.jp/HiTeens-Penguin/1552/ …
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(3)
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(4)
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(2)
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*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

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それぞれの水素は1s軌道に電子を1つずつ持っています。
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Aベストアンサー

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よろしくおねがいします.

Aベストアンサー

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Aベストアンサー

 本じゃないですが、
http://www.junko-k.com/collo/collo185.htm
...は一つの手がかりになるかも知れません(参考文献を含む)。

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Σ
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Aベストアンサー

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>i
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下限や上限は、未定か、前後関係から前後関係から既知で省略しているか、具体的に和をとる時までに決まる(決まっていればいい)ということでしょう。

>Σ
>j>i
「j>iを満たすjの項について全ての項の和をとる」という意味でしょうね。
「iについて全ての項の和をとる」という意味ですね。
この場合も、下限や上限は、未定か、前後関係から既知で省略しているか、具体的に和をとる時までに決まる(決まっていればいい)ということでしょう。

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Aベストアンサー

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Q理系は国立志向が非常に強いですが、そんなに私立はダメですか?

僕は今年東大に落ち、慶應理工に行くことになっています。
(まだ入学金を払っていないので24日までなら一応変更は可能です。)
しかし、慶應理工にいくのはなんとなく気がすすみません。
学校の進路指導で理系は国立の方が良いと散々言われてきましたし、
このサイトにおいてもこういう類の質問では必ずそう言われます。
しょうもないですが、可能性の高かった東工大を
受けておけば良かったと今になって後悔しています。

僕は将来、大学の研究職に就きたいと思っているので、
国立へ行った方がいいのは明らかなのですが、
慶應理工から大学の研究職を目指すんだったら、
一浪して東大(もしくは東工大)へ行った方がいいですか?
設備面や教育面で私立は国立に劣るようなのですが、
同じように勉強を頑張るならば私立と国立の大学4年間で、
研究の実力などにかなり差が出るものなのでしょうか?

慶應理工に進学するなら頑張れば国立にひけをとらないという気持ちで行きたいし、
そういう気持ちになれないなら浪人も考えざるを得ないです。
現時点では進学にも気がすすまず、浪人にも気がすすまず、
人生の中でワースト5に入るくらいにピンチな状況です。

僕には学校の進路指導やインターネットで集めた断片的な知識
しかないので、回答とともにアドバイスお願いします。

僕は今年東大に落ち、慶應理工に行くことになっています。
(まだ入学金を払っていないので24日までなら一応変更は可能です。)
しかし、慶應理工にいくのはなんとなく気がすすみません。
学校の進路指導で理系は国立の方が良いと散々言われてきましたし、
このサイトにおいてもこういう類の質問では必ずそう言われます。
しょうもないですが、可能性の高かった東工大を
受けておけば良かったと今になって後悔しています。

僕は将来、大学の研究職に就きたいと思っているので、
国立へ行った方がいいの...続きを読む

Aベストアンサー

私立が良くないのは、
1.教員に対して学生数が多すぎる
2.どうも、教員の授業だ何だが国立より多いようだ
3.「研究設備」が貧弱なことが多い(必ずしもそうとは限らない)
4.3.に関連して、概ね大学院が弱い
5.よくは知りませんが、大学院定員がどうなっているか、東大東工大のように研究室の選択肢が豊富か
6.学費が高い
7.結果的に研究志向の学生は若干少ないかも
なんて辺りではないでしょうか。(ものすごく詳しいわけではありませんが)

1.は解りにくいと思いますが、
あなたの高校のクラスが30人から90人になったらどうでしょう。
ま、これは教室だけ広げてマイクでも付けておけば何とかなるでしょう。
ところが、研究室配属以降だとどうなるかというと、教員一人が4年生3人の面倒を見るところと、6人の面倒を見るところでは、目の行き届き方が違うでしょう。(極端ではありますが、ピアノのレッスンを想像すると良いかも知れません。)
勿論、3人だ6人だというのは4年生の数であって、修士博士と他にも学生は居るわけです。
研究面で弱いと、それだけ博士課程(後期?)の学生が少なくなるでしょう。
充実した研究室であれば、博士課程後期の学生も少なくないことが多いので、彼らに4年生修士1年生の面倒を見させれば、大体どうにかなります。
なお、4年生になっただけでは、通常研究なんて何にもできません。
つまり、授業だなんだで忙しいわ、抱える学生の数は多いわ、手伝ってくれる博士は少ないわ、という三重苦になりかねません。
理論系だと違うかも知れませんけどね。

また、東大東工大の場合、学内で行ける研究室が多くなります。
これは結構便利なことで。
情報が入って来易いですし。(もっとも十分な情報だとは限りませんが....)
自分のしたいことに近いことは選び易くなります。(ま、学内に限る必要もないんですが)
早稲田慶応でそこまで選択肢があるのかな、と。

入試の話に戻れば、文系がセンターで数学をやる場合は、得意不得意の差があり大変だと思いますが、理系の場合は差がそれほど出そうにない国社ですから、そういう意味でも理系なら国立を目指すべきだという指導は間違いではないと思います。

というわけで、早慶と東工大東大、両方受かっていれば後者、どっちを目指すかでも後者だとは思います。
しかし、国立優位というのは何れも研究室所属後のことでは無かろうかと思います。
私立で学部生をしたことはないのですが、おそらくは、研究室所属前であれば、そんなに変わらないのではないかと思います。

東工大よりは確実に良さそうなのが、
女の子が居る、キャンパスにたぶん華がある。
くだらないことかも知れませんが、長い人生まるっきり無駄なことだとは思いません。
男子校から男子校へ行くようなことになりかねない人は特に。

> 人生の中でワースト5に入るくらいにピンチな状況です。

全然甘いです。
だって慶応に受かってるんですから。(笑)
全落ちならワースト-10でしょうか。
このくらいのことで一々動揺してはいけません。
悩むのは大いに結構ですけどね。
そんなに悪い状況ではありませんよ。という客観的な視点は持っておいた方が良いでしょう。
本当にそれがワースト5なら、今まで何もしてこなかったって事ですから、そっちの方がかなり拙いですよ。

慶應に行っても浪人しても、どっちでも良いとは思いますが、浪人する場合、精神的には弱いのかな、というところが気になります。

私立が良くないのは、
1.教員に対して学生数が多すぎる
2.どうも、教員の授業だ何だが国立より多いようだ
3.「研究設備」が貧弱なことが多い(必ずしもそうとは限らない)
4.3.に関連して、概ね大学院が弱い
5.よくは知りませんが、大学院定員がどうなっているか、東大東工大のように研究室の選択肢が豊富か
6.学費が高い
7.結果的に研究志向の学生は若干少ないかも
なんて辺りではないでしょうか。(ものすごく詳しいわけではありませんが)

1.は解りにくいと思いますが、
あなたの高校のクラスが30人か...続きを読む


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