No.8ベストアンサー
- 回答日時:
A No.1 から、(∃B,AB=E) ならば detA≠0 が言えて、
ケイリー・ハミルトンの定理を式変形して A=(Aの多項式)/detA
という形の逆行列の存在が言える。
右辺の形から、「この」逆元の A との可換性は自明。
あとは、A No.4 のように、左逆元、右逆元それぞれの
唯一性を示せばよい。
どうもありがとうございます。
n次のdetもケイリ―ハミルトンの定理も完全に理解したわけではありませんが、
ご提示の方法でできるような気がします。
この方針を目標に本を読み進めます。
どうもありがとうございました。
No.24
- 回答日時:
>A がn次正方行列で、Eが単位行列の時、AB=Eが成り立つなら…
> ↓
>A, B の rank は n のはず。
「線形代数」テキストの多くは、目もくれずサッサと通り過ぎるようです。
その理由は、単純。
「逆行列の段」に入る前に「行列乗算の段」があって、たとえば正方行列積 AB = C について、
rank(A), rank(B) ≧ rank(C)
みたいなハナシを済ませたばかり、だからでしょうね。
どうもありがとうございます。
やはりもっと勉強を先に進めないと理解できないみたいなので、
年末・年始に頑張ります。
この度は何度もご回答頂き、どうもありがとうございました。
No.22
- 回答日時:
いくら何でも、寄り道し過ぎ気味。
一旦スリム化。>A がn次正方行列で、Eが単位行列の時、AB=Eが成り立つなら…
↓
A, B の rank は n のはず。
(E の rank が n で、A, B の rank 未満にはなり得ないから)
>…『AB=Eの時、BA=Eも成り立つか?』
↓
BC = E を満たす n 次正方行列 C があるはず。
AB = BC = E だから、C = EC = (AB)C = A(BC) = AE = A 。
i.e. AB = BA = E 。
それともこっちが本命?
↓
>Bは一意的に決まる…
↓
AB = AC = E として、A と B, C は可換だから、
B = BE = B(AC) = (BA)C = (AB)C = EC = C
度々どうもありがとうございます。
実はまだ線型代数の勉強し始めたばかりで
「n次行列Aのランクがn ⇔ Aが正則」の証明も分かっていない状態です…。
恥ずかしながら躓いているのは最初の
>A, B の rank は n のはず。
です。
No.21
- 回答日時:
←A No.18 補足
A No.5 だと、写像 x→Ax を考えているから、
A No.17 と同じになってしまう気がする。
むしろ、同氏の A No.3 によって A,B の役割を
入れ換えてから A No.17 のようにするといい。
…てか、写像のほうを転置して書けば、
A No.18 のように整理できる。
いずれにせよ、直接に行列の中身を操作せず、
成分計算は補題に閉じ込めておいたほうが、
見通しは立てやすい。
どうもありがとうございます。
証明の流れとしてはぼんやり分かったのですが、
精緻の議論になるとやはり全然ついていけません…。
成分計算には持ち込まない方が良いという点は分かりました。
No.20
- 回答日時:
>「Bx = 0 は自明解 (x=0) のみを持つとき、Bは正則行列である。
」>ここは本来証明が必要だと思うのですが、その過程で、「Bは左逆元を持つ。ゆえに右逆元も存在する。よって正則行列である。」・・・(1)
>という議論が入っていないかと心配しております。
寄り道気味の ANo.19 は「A の右逆行列 B が存在すれば、A も B もランクは 2 のはず」という (ごく当たり前の) ハナシです。
テキスト書式で行列を記すのは面倒ゆえ、2 次正方行列の例で誤魔化しましたけど、次元は拡張可能。
どうもありがとうございます。
「n次行列Aのランクがn ⇔ Aが正則」の事実までは調べて分かるのですが、
この証明が分からないので結局は本質的には何も理解できません…。
すみません、勉強不足です…。
No.19
- 回答日時:
2 次正方行列で A の右逆行列 B の存在、
AB = E …(*)
を想定すると?
A の各列を A1, A2 、E の各列を E1, E2 とすると、(*) は、
B11*A1 + B21*A2 = E1
B12*A1 + B22*A2 = E2
を合体させた形であり、右辺 E1, E2 が独立なペアだから、A1, A2 も独立なペアのはず。
同様な見方により、B の各行 B1, B2 も独立なペアのはず。
…というのが「次元定理」の軟派的な解釈でしょうか。
再度のご回答どうもありがとうございます。
Eを列ごとに分解し、さらにそれを分解表示するという感じでしょうか?
次元定理についてはまだほとんどわかりませんが、皆様のご回答を見ますと
とても便利そうなので、早く理解できるように頑張ります。
どうもありがとうございました。
No.18
- 回答日時:
←A No.17
その路線で行きたいなら、
むしろ、行ベクトル y についての
方程式 yA=0 を考えてみては?
これが自明解 y=0 しか持たないことから、
線型写像 y→yA が単射であることが言えて、
次元定理より、全射であることも言える。
任意の行ベクトル z に対して
yA=z が解を持つことになるから、
z に標準基底を次々代入して得られる y を
行として並べた行列を C とすれば、
CA=E が成立している。
左逆行列の存在さえ言えてしまえば、
C=B は、既に A No.2 に示されてある。
…って、A No.8 のほうがシンプルだよ、やっぱ。
再度のご回答どうもありがとうございます。
写像Aが一対一対応である(次元定理)ことから
値域の単位元Eに対する定義域の元(逆元)も存在するとするのですね。
A.No5様の回答も多分同じ方針なのですね。
時間が掛かりそうですが、次元定理の証明も頑張ってみます。
どうもありがとうございました。
No.17
- 回答日時:
>>つまり、Bx = 0 は自明解 (x=0) のみをもち、正則。
>ここの部分が気になっております。正則についての定義以前の問題なので、循環論法にならないか危惧しております。
…ならば、下記コメントのどこに「循環論法」が潜んでいそうか、指摘してみてください。
n 次正方行列 A の右逆行列 B を想定、
つまりAB = E なる B が存在すれば、
方程式 Bx = 0 を想定して、A を左乗すると、
0 = A0 = A(Bx) = (AB)x = Ex = x
つまり、Bx = 0 は自明解 (x=0) のみをもち、正則。
どうもありがとうございます。
>…ならば、下記コメントのどこに「循環論法」が潜んでいそうか、指摘してみてください。
>つまり、Bx = 0 は自明解 (x=0) のみをもち、正則。
「Bx = 0 は自明解 (x=0) のみを持つとき、Bは正則行列である。」
ここは本来証明が必要だと思うのですが、
その過程で、「Bは左逆元を持つ。ゆえに右逆元も存在する。よって正則行列である。」・・・(1)
という議論が入っていないかと心配しております。
(1)は、今回の質問の趣旨そのものですので、その事実を用いた上での証明でしたら
循環論法になってしまうと思ったのです…。
ここの証明を今本で調べているのですが、なかなか見つかりません…。
ここの証明の概要など分かりますでしょうか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
行列 線形代数 "diag"って何...
-
正値ってなんですか
-
線形代数の質問です。 3行3列...
-
そういえば、すごい行列ができ...
-
線形代数の問題
-
n×n複素対称行列の対角化
-
連立斉次1次方程式が自明な解以...
-
空間図形の概形
-
非負定値行列の証明問題です
-
実対称行列の直交行列による対...
-
分散共分散行列と相関係数行列...
-
なぜ正規行列で対角化するの??
-
正則行列
-
正定値対称行列の逆行列も正定...
-
線形写像のImfについて。
-
線形代数の問題です
-
3次正方行列が対角化不可能にな...
-
◇ペロンフロベニウスの定理◇
-
行列の可換性と固有ベクトルの...
-
2次行列Aにある値を対応させる...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報