行列でAB=Eの時、Bは一意的に決まるでしょうか？

A がn次正方行列で、Eが単位行列の時、AB=Eが成り立つなら、
n次の正方行列Bは一意的に決まることが証明できるでしょうか？

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/12/25 11:13

念のためあなたのいう「逆行列」の定義を書いてもらえませんか?

まさか,
AB = AC = E だから A(B-C) = O, 左から A の逆行列を掛ければ終わり
レベルじゃないよね?

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。

教科書片手に苦闘しておりますので、逆行列の定義は分かります。

『AB=E、BA=Eの時、BをAの逆行列という』

私が知りたいのは、
『AB=Eの時、BA=Eも成り立つか？』ということです。

よろしくお願い致します。

お礼日時：2012/12/25 11:33

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/12/25 11:09

>「AB=E, AC=E の時、B=Cを証明せよ」

M の転置行列を M~ と書く。まず、
AB=E ⇒ (BA)~ = E ⇒ BA = E

以下、
AB=E かつ AC=E ⇒ B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C

　　

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。

すみません、
AB=E ⇒ (BA)~= E のところが分かりません・・・。

AB=E ⇒ (AB)~=E なら分かるのですが…。

お礼日時：2012/12/25 11:26

No.2 回答者： noname#171951 回答日時： 2012/12/25 10:07

#1です。

C,DをAの逆行列とすると、
C=C(AD)=(CA)D=D
となります。

この回答へのお礼

再度のご回答どうもありがとうございます。

実は逆行列の定義に関しての質問なので、逆行列という言葉を使わないで証明して頂きたいのです…。
つまりAD=Eはよいですが、CA=Eは証明なしには使わないでほしいのです。

「AB=E , AC=E の時、B=Cを証明せよ」・・・(1)という問いで、
つまり「AB=Eのならば、BA=E」・・・(2)が成り立つことを証明できても解決になります。

(1)または(2)の証明を教えて頂きたいのです。
言葉足らずですみません。
よろしくお願い致します。

お礼日時：2012/12/25 10:24

No.1 回答者： noname#171951 回答日時： 2012/12/25 09:46

(detA)(detB)=det(AB)=detE=1より、

detA≠0となってAは逆行列をもちます。

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。

Aが逆行列を持つかという質問ではなく、Bがただ一つに定まるかという質問です。

「Aが逆行列を持つときはただ一つのみか？」という問いに近いです。(少し違いますが…。)

よろしくお願い致します。

お礼日時：2012/12/25 10:02