行列の証明問題です

以下の問題の解答を教えてください
よろしくおねがいします

3.Aをサイズが 奇数の行列でA＊=ーAをみたすものとする．
(i)Aが実数を成分とする行列のとき，Aの行列式についてわかることを述べよ．
(ii)Aが複素数を成分とする行列のとき，Aの行列式についてわかることを述べよ．
(iii)Aが正規行列であることを示せ。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/25 11:15

大学の１年生で習う線形代数の行列の所ですよね。

行列の定義や性質は教科書に書かれているので、その通り
すれば解けると思います。大学出て40年もう忘れました。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/25 23:22

記号 A＊ の説明がありませんが...

A＊ は A のエルミート共役、A＊ = -A は A が歪エルミート行列であることを示すのですね？

(i)
A が実行列であれば、A＊ = A^T (^Tは転置行列を表す)が成り立ちます。
転置行列に対して一般に det(A^T) = det(A) ですから、det(A＊) = det(A^T) = det(A).
A が奇数 n 次行列であれば、det(-A) = (-1)^n det(A) = - det(A).
A＊ = -A が成り立つなら、det(A) = - det(A) より det(A) = 0 です。

(ii)
A が 奇数 n 次行列であれば、共役複素数を ~ で表すとして
det(A＊) = det(A^T~) = det(A^T)~ = det(A)~,
det(-A) = (-1)^n det(A) = - det(A).
A＊ = -A が成り立つなら、det(A)~ = - det(A) より det(A) は純虚数(または0)です。

(iii)
正規行列の条件は (A＊)A = A(A＊) です。
A＊ = -A であれば、(A＊)A = -A^2 = A(A＊) が成り立ちます。

この回答へのお礼

なるほど、何について答えればいいのかわかっていなかったのでイメージがつかめました！ありがとうございました

お礼日時：2019/04/30 11:01

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/04/26 07:44

まず、行列式の定義から、

det(-A)=(-1)^n・det(A) (nは正方行列Aのサイズ)
det(A^(*))=conj(det(A)) (conj(a)はaの複素共役)
はわかりますよね。
nが奇数なら
det(-A)=-det(A)

(i) det(A^(*))=det(-A)
から、実数行列なら
det(A)=-det(A)
ですから、det(A)=0
(ii) 複素行列なら同様に
conj(det(A))=-det(A)
なのでdet(A)実数成分は0
(iii)
AA^(*)=-A^2
A^(*)A=-A^2

この回答へのお礼

丁寧にお答えいただきありがとうございます！よく分かりました！

お礼日時：2019/04/30 11:01

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/26 22:24

No.3 は、A^(*) = conj(A) と考えているのかな？

質問者の意図はどちらなんだろうね。