lim[n→∞](1+1/n+1/n^2)^n=e の証明はどのようにすればよいでしょうか？

lim[n→∞](1+1/n+1/n^2)^n=e
の証明はどのようにすればよいでしょうか？

質問者からの補足コメント

• また、x は任意の数で
  lim[n→∞](1+1/n+x/n^2)^n=e
  はどう示せばよいでしょうか？

    補足日時：2023/08/18 08:42

• x/n^2 は 1/n に比べて極めて小さいので、n→∞ の極限においては無視できるということだと思います。そのことを出来れば、はさみうちの原理を用いずに簡潔な式変形によって示したいです。

    補足日時：2023/08/18 15:22

• (1+1/n+x/n^2)^n
  ={1+1/n(1+x/n)}^n
  ={1+(1+x/n)/n}^n
  →e^(1+x/n)→e
  のように2段階で極限をとるのはマズイでしょうね。

    補足日時：2023/08/18 15:34

No.7 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/20 20:17

図の通り

この回答へのお礼

ありがとうございます。やはり、はさみうちでやらないと厳密ではないのですね、

お礼日時：2023/08/25 07:26

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/24 16:42

「2段階で極限をとる」のは、二重極限の収束が保証されていれば可。

#5 では、そこを示してないけど。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/08/20 10:33

コメントだけしておくと, さすがに「2段階で極限をとる」のは不可.

{1+(1+x/n)/n}^n
→e^(1+x/n)
のところで「n→∞ の極限をとっている」のであれば, 「→」の後ろの式に n が残るはずがない.

#5 もわりと危険な感じはする.

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/08/18 20:13

xを実数として

　(1+x)^(1/x) → e (x → 0)
を使えば可能。

y=1/n+x/n² として
　(1+1/n+x/n^2)^n={(1+y)^(1/y)}^(yn) → e^1

　yn=1+x/n → 1
だから。

この回答へのお礼

つまり
(1+1/n+x/n^2)^n
=[{1+(1+x/n)/n}^{n/(1+x/n)}]^(1+x/n)
と変形すれば良かったのですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2023/08/18 20:51

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/08/18 15:40

#3さんへ。

誤りました。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/18 15:07

x<0のとき

n>-x
0<n+x<n
だから
1/n<1/(n+x)
1/n+x/n^2<1/n<1/(n+x)
1/n+x/n^2<1/(n+x)
だから
1/n+x/n^2≧1/(n+x)
は成り立たない

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/08/18 11:02

1. x≧0　のとき

　(1+1/n+x/n^2)^n ≧ (1+1/n)^n → e

n>x とする。

　1/n+x/n²≦1/(n-x)

　[x]=m (≦x)
とおくと
　(1+1/n+x/n^2)^n≦(1+1/(n-x))^n≦(1+1/(n-m))^n
　　　　≦{(1+1/(n-m))^(n-m)}^{n/(n-m)} → e^1=e

したがって、挟み撃ちから結論を得る。

2. x<0 のとき

　(1+1/n+x/n^2)^n < (1+1/n)^n → e

n>-x とすると
　1/n+x/n²≧1/(n+x)

　[-x]=m (≦-x)
とおくと
　(1+1/n+x/n^2)^n≧(1+1/(n+x))^n≧(1+1/(n-m))^n
　　　　≧{(1+1/(n-m))^(n-m)}^{n/(n-m)} → e^1=e

したがって、挟み撃ちから結論を得る。

3.
まとめて、任意のxについて結論を得る。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/08/18 07:47

(1+1/n+1/n^2)^n > (1+1/n)^n → e

また、n>1 のとき
　1/n+1/n^2 < 1/(n-1)
だから
　(1+1/n+1/n^2)^n
　　 < (1+1/(n-1))^n={(1+1/(n-1))^(n-1)}^{n/(n-1)}
　　　 → e^1=e

したがって、挟み撃ちから結論を得る。

この回答へのお礼

了解しました。ありがとうございます。

お礼日時：2023/08/18 08:33