A 回答 (7件)
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No.4
- 回答日時:
A は 2つの独立な固有ベクトル x, y をもち, これらはどちらも B の固有ベクトルでもある. で条件から Ax = By
= 0 としてよいので AB = O.No.5
- 回答日時:
泥臭いやり方だけど、無理やり解いてみました。
まず
A =
a b
c d
B=
p q
r s
と置き
AB=BA と解いてみます。
すると
a -d : b : c = p-s : q: r
が得られます。
これは b, c をスカラー倍したものがq, r で、
a, d をスカラー倍して同じスカラーを足した物が
p, sということなので
これはA, B が
B = mA + nE (m, n は任意のスカラー)
の関係を満たせばよいということになります。
Aが非正則でBも非正則になるには
ad-bc = 0 なので
detB = (ma+n)(md+n) -m^2bc = mn(a+d)+n^2
= n(m(a+d) +n)=0 → n = 0 または m = -n/(a+d)
n = 0 では A+Bも非正則になってしまうので
n≠0, m = -n/(a+d)
P =AB=A(mA+nE) = mA^2+nA
成分を計算すると
P11 = m(a^2 + bc) + na
= -n/(a+d)・(a^2+ad) +na = 0
P12 = m(ab + bd) + nb
= -n/(a+d)・b(a+d) + nb = 0
P13 = m(ac + cd) + nc
= -n/(a+d)・c(a+d) + nc = 0
P14 = m(bc + d^2) + nd
= -n/(a+d)・d(a+d) + nc = 0
#ad=bc を使ってます。
つまり P=0
裏に美しい理論が有りそうですが、とりあえず解けました(^^;
念のため
A + B = (m + n)A + nE
det(A+B) = {(m+n)a + n}{(m+n)d + n} - (m+n)^2・bc
= (m+n)^2(ad-bc) + (m+n)(a+d) + n^2
=(m+n)(a+d) + n^2
なので、m, n を適当に選べば A+B を正則にできます
ので、質問の条件に適合する m, n が存在することが分かります。
No.6
- 回答日時:
訂正 添え字間違えました。
式も一部修正P11 = m(a^2 + bc) + na
= -n/(a+d)・(a^2+ad) +na = 0
P12 = m(ab + bd) + nb
= -n/(a+d)・b(a+d) + nb = 0
P21 = m(ac + cd) + nc
= -n/(a+d)・c(a+d) + nc = 0
P22 = m(bc + d^2) + nd
= -n/(a+d)・d(a+d) + nd = 0
#ad=bc を使ってます。
No.7
- 回答日時:
あぁ, もうちょい簡単になるわ.
Ax = 0, By = 0 となる (どちらも 0 でない) ベクトル x, y が存在しこれらは独立でなければならないから AB = O.
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