f(x)=x^3-2が一様連続でないことの証明方法を教えてください。 不連続はどう示すのでしょうか？

f(x)=x^3-2が一様連続でないことの証明方法を教えてください。
不連続はどう示すのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/02/28 16:06

任意のδ>0に対して

n>1/δとなる自然数nがある
x=n
y=n+(1/n)
とすると

|y-x|=1/n<δ

|f(y)-f(x)|
=|(y^3-2)-(x^3-2)|
=|y^3-x^3|
=|(n+1/n)^3-n^3|
=3n+3/n+1/n^3
>3n
≧3
だから
f(x)=x^3-2は一様連続でない

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2019/02/28 16:04

ｘ＞1、ｘ₀＞1のとき

|f(x)－f(x₀)|＝(ｘ₀²＋ｘ₀ｘ＋ｘ²)|ｘ－ｘ₀|≧ｘ₀|ｘ－ｘ₀|　が成立つ。
いまもし全実数内でf(x)が一様連続ならｘ₀がどこにあっても
ｘ₀からある小さな決まった距離δ＞0はなれたｘにおいて
|f(x)－f(x₀)|＜1　でなければならない。
ところが最初の不等式から
このｘ、ｘ₀にたいして
|f(x)－f(x₀)|≧ｘ₀δ　が成立つからｘ₀が十分大きければｘ₀δ≧1
したがって
|f(x)－f(x₀)|≧1　となってしまう。
これは矛盾だから
f(x)は全実数の範囲では一様連続とは言えない。