No.2ベストアンサー
- 回答日時:
任意のδ>0に対して
n>1/δとなる自然数nがある
x=n
y=n+(1/n)
とすると
|y-x|=1/n<δ
|f(y)-f(x)|
=|(y^3-2)-(x^3-2)|
=|y^3-x^3|
=|(n+1/n)^3-n^3|
=3n+3/n+1/n^3
>3n
≧3
だから
f(x)=x^3-2は一様連続でない
No.1
- 回答日時:
x>1、x₀>1のとき
|f(x)-f(x₀)|=(x₀²+x₀x+x²)|x-x₀|≧x₀|x-x₀| が成立つ。
いまもし全実数内でf(x)が一様連続ならx₀がどこにあっても
x₀からある小さな決まった距離δ>0はなれたxにおいて
|f(x)-f(x₀)|<1 でなければならない。
ところが最初の不等式から
このx、x₀にたいして
|f(x)-f(x₀)|≧x₀δ が成立つからx₀が十分大きければx₀δ≧1
したがって
|f(x)-f(x₀)|≧1 となってしまう。
これは矛盾だから
f(x)は全実数の範囲では一様連続とは言えない。
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