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特異点、留数、位数の求め方(考え方)を教えてください。
例えば
f(z)=1/(z*sinz)
についてその3つの解説お願い特異点、留数、位数の求め方を教えてください。
自分で考えたのは
特異点はz=0,sinz=0→z=nπ(nは整数)(これもあやふや)
位数はz=0は一次なので1位、sinz=nπはよく分からない
留数は1位とk位(k≧2)の場合の公式があるのでそこに入れるらしい(あやふや)
こんな感じです。
宜しくお願いします。

A 回答 (3件)

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。

そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、その展開がマイナス何乗の項まで存在するか、ということです。位数が無限大になる「真性特異点」というものもあります。
したがって、この関数はz=0においては1位の極ではありません。もういちどよく考えてください。

留数とは、特異点のローラン展開におけるマイナス1乗の係数のことです。求めたい留数においてそれが何位の極なのかがわかれば、その計算方法も考えればわかるはずです。
留数がわかれば複素積分に応用できるので、留数は複素関数において重要な考えの一つです。

この回答への補足

回答有難うございます。

言われた通りオイラーの公式から
sinz=(1/2i)*{e^iz-e^(-iz)}=0とおいて変形すると
Z=0つまりz=nπ(nは整数)以外ないということが確認できました。

>極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、その展開がマイナス何乗の項まで存在するか、ということです。位数が無限大になる「真性特異点」というものもあります。
>したがって、この関数はz=0においては1位の極ではありません。もういちどよく考えてください。
う~んこの場合だと分母がz*sinzでz=0のときzもsinzも同時に0になるから2位ということを言いたいのでしょうか。
それともローラン展開を実際に書いてマイナス何乗の項まであるか調べようということなんでしょうか。
つまり位数の調べ方が具体的にどうすればいいか考えても分からないのです。このヒントだけでは自分には推測できないのですorz
すいません。

ちなみに問題は別ですが、ある問題集には

(1)z=aがf(z)の第k位の極のときg(z)=(z-a)^k*f(z)はz=aで正則である。
(2)f(z)=g(z)/{(z-a)^k}においてg(z)がz=aで正則で、g(a)≠0ならばz=aはf(z)の第k位の極である
(3)z=aがf(z)の第k位の極のとき
Res[z=a]f(z)={1/(k-1)!}*lim[z→a][{d^(k-1)/dz^(k-1)}*{(z-a)^k}*f(z)]
特にz=aがf(z)の第1位の極のとき
Res[z=a]f(z)=lim[z→a](z-a)f(z)

Resは留数の意味

とあり、まず(1)(2)を用いて位数を求めその後(3)で1位かk位で場合分けされた公式を使ってといています。

例えばf(z)=1/{z(z-1)^3}においてRes[z=0]f(z)を求める問題でしたら
(2)を使うために
f(z)=g(z)/{(z-0)^1},g(z)=1/{(z-1)^3}と変形しz=0は第1位と求まり
(3)の1位の場合の公式を用いて
Res[z=0]f(z)=lim[z→0](z-0)f(z)=lim[z→0]【z*[1/{z*(z-1)^3}]】=lim[z→0][1/{(z-1)^3}]=1/{(0-1)^3}=-1
と解いています。

分かりづらいですが括弧は(){}[]【】の順に内側から外側へと展開していきます。

ついでにお分かりでしょうが
質問文の訂正箇所を書かせてください

>についてその3つの解説お願い特異点、留数、位数の求め方を教えてください。
について解説お願いします

>sinz=nπはよく分からない
z=nπの位数がよく分からない

でした。この場を借りて訂正しときます、すいません。

補足日時:2007/08/02 19:30
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No.1の者です。


位数の求め方がわからないようでしたら、ローラン展開された形を予想して求めればできます。

まず、関数f(z)をz=0でローラン展開して、
f(z) = Σ(k:from -n to ∞)a[k]z^k (nは正整数)
と展開されたとします。ここでa[k]は各z^kの係数で、[k]はaの添字を表します。また、これをn位の極であるとするために、a[-n]≠0とします。

このとき、g(z)= f(z)×(z^m) (mは0以上の整数) を考えます。
m<n のとき、lim(z→0)g(z) = ∞
m=n のとき、lim(z→0)g(z) = a[-n]
n<m のとき、lim(z→0)g(z) = 0

であることが証明できるので、このことがわかれば位数の求め方もわかるはずです。一般の、z→ζ(ζは複素定数)については、w=z-ζと変数を変換すれば同様に証明できます。
ちなみに複素関数でいう「∞」とは、どのような極限の取り方においても、その絶対値が無限大になることです。詳しくはリーマン球面について学んでください。
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この回答へのお礼

有難う御座いました。

お礼日時:2008/01/19 16:31

(z-nπ)f(z)


= (z-nπ)*(1)/(z*(sin(z-nπ))*(-1)^(n))

x->0のとき x/sinx = 1より

(z-nπ)f(z)
= (1)/(z*(-1)^(n))

学生ですが先日テストありました

z=nπについては上の変形より1位であることがわかるはず。
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この回答へのお礼

有難う御座いました。
その方法でやってみたところ出来ました。

お礼日時:2008/01/19 16:30

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無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
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>極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、
>位数の求め方がわかりません。
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Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  
    =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
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Q1/sinz

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>まずやりかたもよくわからないのですが、

ttp://coral.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch5.pdf
をご覧になって勉強してください。

>極にz=nπが入らない理由もわかりません。

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ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
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∫[0→a]e^-x^2dx
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同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
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Qテイラー展開とローラン展開

テイラー展開とローラン展開の問題の解き方がよく分かりません。どちらにもマクローリン展開を用いるようなのですが・・・。例えば、z=-iを中心に関数f(z)=1/zをテイラー展開及びローラン展開するにはどうすれば良いのでしょうか?式をできるだけ詳しく説明して頂けると助かります。

Aベストアンサー

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ローラン展開も領域を意識したほうがいいと思います。
例えば、環状領域は0<|z|<+∞、0<|z-1|<1などと表されます。

>また、ローラン展開をする際は必ずマクローリン展開(u=z-aとおく等してz=0でテイラー展開)を用いるのでしょうか?

必ずしもそうとは言えません。与えられた関数によるでしょう。
例として

f(z)={(z^2)-1}/{(z+1)(2z-1)}の0<|z-(1/2)|<(1/2)
でのローラン展開を求めると、
f(z)=(z-1)/(2z-1)=(1/2)*{1-1/(2z-1)}=(1/2)-(1/4)*{1/(z-1/2)}
従って、f(z)=(1/2)-(1/4)*(z-(1/2))^(-1)

というように、テイラー展開を用いなくてもローラン展開が出来るものもあります。
(途中の計算は確認してください。)

また、領域を意識する必要性は#1のローラン展開の例で領域を0<|z-1|<1
に変えると当然一意性があるので違ったローラン展開になります。(g(z)=-1/zとおいて計算する。)

自分の授業の話ですが複素解析学ではマクローリン展開と言わなかったような気がします。(教授の好みかもしれません。)

それでは頑張って下さい。

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ロ...続きを読む

Q平面曲線の特異点について

こんばんは。大学の数学で分からないところがあるので質問させて頂きます。
平面曲線の特異点についてなのですが、教科書では、
「f(x,y)=0となる点(x,y)の点の集合のなかの点(a,b)での、
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について、特異点を求めるときに、解答では
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となっていたのですが、点(1,1)を代入しても(1)、(2)式は0になりますよね?(1,1)は特異点にはならないのでしょうか?他の演習問題も同じ理由でつかえています。
どなたかご指導お願い致します。

Aベストアンサー

定義通りなら(1,1)も当然特異点になりますよね。
おそらく教科書と講義、あるいは教科書と演習書で特異点の定義が違っているのではないでしょうか。

問題集で(0,0)のみ特異点と言っていることから察するに、問題集の方では特異点=あん点のことを指してるのではないでしょうか・・・


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(0,0)があん点、(1,1)が極小になっていますね。

Qexp(1/z)の原点のまわりでローラン展開について質問です。

exp(1/z)の原点のまわりでローラン展開について質問です。
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と展開できるという説明がされているんですが、このことで腑に落ちないところがあります。あくまでexp(1/z)のz=0での展開を考えているわけですから、例えば1/z=uとかおいて考えるのならば、z=0に対応するのはu=∞のはずです。だからexp(u)の展開に帰着させたいなら無限遠点の周りの展開を考えなければならない、ということにはならないのでしょうか?疑問に思っているのはここです。
しかしテイラー展開は円板状の領域内で使えるものであって、無限遠点まわりで、というわけにはいきませんよね。それで1/z=uとおき直してみるという作戦は結局上手くいかないのかなぁ、などと悩んでしまって…
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Aベストアンサー

よい点に気づかれたと思います。
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関数によっては、どうやって展開したらよいか
解らないこともあります。

今回の問題で exp u のマクローリン展開に
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exp u の級数表示が意味を持っているからです。

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q複素積分におけるの特異点の求め方

添付画像の問題を特にあたり、e^(-z^2)の特異点を求めることになると思うのですが、

このような関数の特異点はどのようにして求めるのでしょうか。

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どこにもない。複素平面上すべての点で正則である。
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Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

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このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html


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