2変数の極値問題

f(x,y)=x^4+3x^2-6xy+2y^2の極値を求めよという問題なのですがどうやって解けばいいのかわからないので誰か教えてもらうことできませんか？

質問者からの補足コメント

• 途中式なども書いてもらえると助かります

    補足日時：2018/07/23 19:32

No.1 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/23 19:11

https://mathtrain.jp/hessian
を参照してみてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/24 00:26

∂f/∂x=4x^3 + 6x - 6y = 0

∂f/∂y=4y - 6x = 0
から極値の候補は、(0, 0)、(√3/2, 3√3/4)、(-√3/2, -3√3/4)の３つ
∂/∂x(∂f/∂x)=12x^2 + 6
∂/∂y(∂f/∂y) = 4
∂/∂x(∂f/∂y) = ∂/∂y(∂f/∂x) = -6
から、ヘッセ行列は、
12x^2+6 -6
-6 4
(0, 0)について
ヘッセ行列は、
6 -6
-6 4
で、一つ目の首座小行列は6>0
二つ目の首座行列は6*4 - 36 = -12<0
これは正定値でも負定値でもないから、極値かどうかは分からない。
(√3/2, 3√3/4)について
ヘッセ行列は、
15 -6
-6 4
で、一つ目の首座小行列は15>0
二つ目の首座行列は15*4 - 36 = 24>0
よって、(√3/2, 3√3/4)は極小点であり、極小値は-9/16
(-√3/2, -3√3/4)について
ヘッセ行列は、
15 -6
-6 4
で、一つ目の首座小行列は15>0
二つ目の首座行列は15*4 - 36 = 24>0
よって、(-√3/2, -3√3/4)は極小点であり、極小値は-9/16

この回答へのお礼

ありがどうございます！

お礼日時：2018/07/24 09:51

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2018/07/24 00:42

気になったので、関数の形状を見てみました。

黒文字の数字は探索初期点、赤い点はシミュレーテッド・アニーリングで求めた最小点。○は#2さんが解いた解です。一致しています。