数学での１０進数からｎ進数への変換

こんにちは。１０進数からｎ進数に変換するには１０進数の数をｎで割ったあまりを並べればよいと習ったのですが…。やり方は理解できるのできるのですが、なんでそうすうるとｎ進数へ変換できるのですか？？？高校数学の範囲で証明できるのならば教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： gleeee 回答日時： 2004/11/08 14:27

基本的にはCupNakaさんの回答に準じます。

　例えばxという十進数を二進数にしてみます.

（ｘを２で割ったときの商をa、余りをr）x=2a+r

（aを２で割ったときの商をb、余りをs）a=2b+s

よって、x=2(2b+s)+r
=2^2b+2s+r

（bを２で割ったときの商をc,余りをt）b=2c+t

よって、x=2{ 2(2c+t)+s } +r
=2^3c + 2^2t + 2s + r …

このように考えていけば、すだれ算の仕組みは理解できるのではないでしょうか。
　今漸化式を用いて証明しているのですが、なぜかうまくいかない…でも、考え方はあっていると思います！

No.4 回答者： kony0 回答日時： 2004/11/08 23:24

昔の回答を引っ張り出してきました。

「イメージ」onlyですがいかがでしょう？

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=149081

No.2 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2004/11/08 13:31

あるかずＡをｘ進で表現したとすると

Ａ＝kn*ｘ^n＋…＋k3*ｘ^3+k2*ｘ^2+k1*ｘ^1+k0*ｘ^0

で表現できます。
この式をよく見て、
質問文の手順を考えてみると、
例えば、式全体をｘで一回割ってみると、
k0が余りになることがわかります。
そこであまりを取り除いて、
ｘの次数を一個減らします。
また、ｘで割ります。するとk1がわかりますね。
以下同じ。

No.1 回答者： CupNaka 回答日時： 2004/11/08 13:27

長くなってしまいましたが、あまり自身の程はないのです…

10進数で例をとっていきます。
10進数というのは1つの桁が0～9までの10種類で成り立ちます。
9の次、すなわち10になると桁上がりが発生し1と0で「10」という数字になります。

n進数はnという数になると、桁上がりが発生するということです。

質問の内容ですが、分かりやすく例をあげて10進数の1234という数を、同じ10進数で表してみます。
10進数を10進数で割るということです。

割る数　　余り
１２３４　｜　４　↑
　１２３　｜　３
　　１２　｜　２　↑
　　　１
　　　→　　
となって、1234という数が得られるのはご存知かと思います。

なぜ10進数の数値をn進数のnで割るのかというと、この例の"10"という値が、n進数での桁上がりになるからです。
例の表で得られた4は、10進数の桁上がりにも満たない端数としてただの4ですので、
10^0×4=4です。(10^0=1)

3は1度の除算の端数、つまりは桁上がりが1回必要な数値ということで10^1×3=30
2は2度の除算の…
…
という具合になり、(1*4)+(10*3)+(100*2)+(1000*1)=1234となります。

つまりは、余りの段落は桁の重みを含む数 × その次の重みでの端数を表している、ということです。