（3）の（異なる3つの実数解を持ち、それらが全て1より大きくなる）というのはどういうことでしょうか？

（3）の（異なる3つの実数解を持ち、それらが全て1より大きくなる）というのはどういうことでしょうか？

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/10/21 14:27

(1)より

P(x)=(x-2)(x²-6x＋a＋3)だから
P(x)=0の解はx=2とx²-6x＋a＋3=0の解
ということは、p(x)が異なる3つの実数解を持ちみな１より大きいという事は
x²-6x＋a＋3=0が異なる2つの解をもち、この２つが共に１より大きく２でなければよいという事です。
そこで、２次関数
f(x)=x²-6x＋a＋3のグラフを考えます。
このグラフが異なる２点でx軸と交わるためには（f(x)=0の解が２こ存在するためには）
判別式：D/4=３²-a-3>0
→a<6・・・①
また、x=1より右でグラフがx軸と交わるためには（f(x)=0の解がx=1より大きくなるためには）
軸＞１と
f(1)>0と言う条件が必要
f(x)=(x-3)²+aｰ6の軸はx=3なので軸の条件はクリアしている
f(1)=1²-6+a+3=a-2>0
⇔2<a・・・②
①②よりf(x)=x²-6x＋a＋3=0の解が異なる２つの実数でかつともに１より大きくなるためには
2<a<6であることが必要と分かりました。
（ここまでは、２次関数の単元で既習）
最後に、P(x)=0に立ち戻って、これが１よりおおきい異なる３つの実数解を持つ条件を再確認。
2<a<6のとき２次方程式f(x)=0はx=2となることがあるか調べる。
そこでx²-6x＋a＋3=0にx=2を代入
するとa-5=0⇔a=5
従ってf(x)=0の解が異なる２つの実数でかつともに１より大きくなるためには
2<a<6であることが必要だが、a=5のときだけは除外しないと３次方程式P(x)=0の解は２が重解となって異なる３つの解にならない
∴2<a<5,5a<6

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/10/21 13:17

P(x)＝x^3－8x^2＋(a+15)x－b

(1)
x－2で割り切れる → P(2)＝0になる → 8－32＋2a＋30－b＝0 → b＝2a＋6
P(x)＝x^3－8x^2＋(a+15)x－(2a+6)
　＝(x－2){x^2－6x＋(a+3)}
　＝(x－2)(x^2－6x＋a＋3)

(2)
(i)重解がx＝2の時
x^2－6x＋a＋3＝0の解が2つあり、1つは2でもう一つは2ではない。 → 2^2－6･2＋a＋3＝0 → 4－12＋a＋3＝－5＋a＝0 → a＝5　この時、x^2－6x＋8＝0 → (x－2)(x－4)＝0 → x＝2,4であり、題意を満たす。

(ii)重解がx＝2を含まない場合
x^2－6x＋a＋3＝0がx＝2以外の重解を持つ。
判別式D＝6^2－4･(a+3)＝0 → 36－4a－12＝24－4a＝0 → a＝6　この時重解はx＝3となり、題意を満たす。

よて、答えは a＝5,6

(3)P(x)が異なる３つの実数解を持ち、それらが全て1より大きい → x＝2が解の１つであるから、x^2－6x＋a＋3＝0が異なる2つの実数解を持ち、その2つの実数解の両方が1よりも大きければよい。
→ 判別式D＝6^2－4･(a+3)＞0 → 24－4a＞0 → a＜6・・・①
→ ２つの異なる実数解をα、β(α＜β)と置くと、
(α－1)(β－1)＞0 → α･β－(α＋β)＋1＞0 →解と係数の関係より、 (a＋3)－6＋1＞0 → a＞2・・・②
①、②より、2＜a＜6となるが、(1)(ii)より、a＝5の時には「異なる3つの実数解」にはならないので、2＜a＜5、5＜a＜6となる。

もしくは、解の公式より、小さい方の解 x＝〔6－√{6^2－4･(a+3)} 〕／2＞1 を解いていって、3－√(6－a)＞1 → 2＞√(6－a) → 4＞6－a → a＞2 でもよいと思う。

答え
ア：２　イ：６　ウ：２　エ：６　オ：３　カ：５　キ：６　ク：２　ケ：５　コ：５　サ：６