定数a,bに対してf(x)＝2x³－ax²＋bxとし、 f(x)は0＜x＜1で極大値と極小値をもつ。

定数a,bに対してf(x)＝2x³－ax²＋bxとし、
f(x)は0＜x＜1で極大値と極小値をもつ。
導関数f'(x)＝6x²－2ax＋bについて、f'(x)＝0は
0＜x＜1で異なる二つの解を持つ。よってxが実数全体を動く時のf'(x)の最小値『ア』-a²/『イ』は負である

f'(x)が、最小値をとるxの値『ウ』/『エ』は0と1の間
また、f'(0)とf'(1)の値は『オ』
オ→0 ともに正
1 ともに負
2 一方が正、もう一方が負
3 ともに0
4 一方が0、もう一方が正
5 一方が0、もう一方が負

この問題の解説を教えてください！
よろしくお願いします。

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/11/05 11:10

f’(x)=6x²-2ax+b

=1/24 {144x²-48ax+24b}
=1/24 {(12x-2a)²-4a²+24b}
=(6x-a)²/6 +(b-a²/6)

『ア』 b 『イ』 6 『ウ』 a 『エ』 6

y=f’(x) のグラフは下に凸の放物線である。これが 0<x<1 の範囲で x 軸と 2箇所で交わるので、f’(0), f’(1) は共に正でなければならない。

『オ』 0

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/05 12:43

f'(x)＝0は

0＜x＜1で異なる二つの解を持つ　
⇒y=6x²－2ax＋bのグラフが0＜x＜1の範囲で2回x軸と交わる
⇒f'(x)=6x²－2ax＋bは　X=0でプラス、その右で一旦マイナスになってX=1で再びプラスに代わる
⇒f'(0)>0
かつ、y=6x²－2ax＋bのグラフの頂点のx座標が0と１の間にある
かつ、頂点のy座標がマイナス
かつ、f'(1)>0
⇒y=6x²－2ax＋b
=6{x²－(a/3)x}＋b
=6{x-(a/6)}²－a²/6＋b　から　頂点(a/6,－a²/6＋b)だから
f'(0)=b>0・・・①
0<a/6<1・・・②
－a²/6＋b<0・・・③
f'(1)=6-2a+b>0・・・④
この4条件の3番目から
b-a²/6<0・・・アイ

次に前述の事柄から
f'(x)が、最小値をとるxの値⇔頂点のｘ座標、『ウ』/『エ』=a/6、は0と1の間・・・（上記④条件の2番目）
オ⇒０　・・・（上記①と④）

（ちなみに
定数a,bに対してf(x)＝2x³－ax²＋bxとし、
f(x)は0＜x＜1で極大値と極小値をもつ。
f(x)はx³の係数がプラスだから、そのグラフの概形はN字型になり、この場合の増減表はx=sで極大、x=tで極小（ただし0<s<t<1)として
x|・・・０・・・s・・・t・・・１・・・
f'|　＋　＋　＋　０　－　０　＋　＋　＋
f|　　　　　　　極大　　極小
となります。

このような増減表が書けるためには、
f'(x)＝6x²－2ax＋bは下に凸の放物線のグラフで,x=sとx=tでf'(x)＝6x²－2ax＋b=0となり、
x=sより左ではf'(x)＝6x²－2ax＋b＞０　s<x<tではf'(x)＝6x²－2ax＋b<0　x=tより右ではf'(x)＝6x²－2ax＋b>0となる必要があります
⇒導関数f'(x)＝6x²－2ax＋bについて、
f'(x)＝0は0＜x＜1で異なる二つの解を持つ　となります。

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/11/06 00:13

いつも思うんだけれど、

この問題に解説が必要な時点で、基礎学力が全く無い、ｆ(ｘ)についてならまだしも、ｆ'(ｘ)、ただの二次関数について解説が必要なのだから、本当に基礎学力が全く無いんで、読んで解る解答解説付きの教材をやり直さないと、どうにもなりませんよ。
基礎の勉強をするときに、理解することは大事ですし、覚えるべきことを覚えることも大事です。
しかし、理解しました暗記しましたおしまい、だと、問題は解けないが、解答解説を読むと解ります、という状態にしかならないことがよくあります。
大学入試を考えているんですよね？違うんでしょうか？
大学入試でも高校の定期テストでも、求められているのは、解答解説を読めば理解できることでしょうか？それとも問題が解けることでしょうか？

ｙ＝６ｘ²－２ａｘ＋ｂ
この式を見て、考えることは大凡三通りです。

まず、ｘ²の項の係数が正か負かです。正の場合は下に凸、負の場合は上に凸、という形状になります。

次に、因数分解っぽくする、ｙ＝ｐ(ｘ－ｑ)(ｘ－ｒ)の形に持って行く。勿論ｑ,ｒが整数だとは限りません。
これは、ｙ＝０、つまりｘ軸とそのグラフとが、ｘ＝ｑ,ｒのときに交わる、ｘ＝ｑ,ｒのときにｙ＝０になる、ということを意味します。

次に、平方完成させる、ｙ＝ｐ(ｘ－ｓ)²＋ｔの形に持って行く。
これは、ｙ＝ｐｘ²を、ｘ方向にｓ、ｙ方向にｔ、平行移動しただけの物です。
ｙ＝ｐｘ²の頂点の座標は、当然原点ですから、平行移動した物の頂点は、(ｓ,ｔ)となります。
頂点が判ると、下に凸なら最小値が判るし、そのときのｘも判ります。上に凸なら最大値。
更に言うと、二次方程式の解の公式は、この平方完成から導き出され、二次方程式の解がｑ,ｒなので、本当は因数分解よりこっちが優先なんですが。
更には、下に凸の場合、上は正の方向に無限大になるので、最小値が正であれば、グラフはｘ軸を跨がずにずっとｙは正のままです。
ｘ軸を跨がないということは、６ｘ²－２ａｘ＋ｂ＝０となるｘの実数解を持たない、ということになります。
強いて言うなら、その時は虚数解になるのです。
最小値が負の場合は、グラフはｘ軸と二点で交わります。６ｘ²－２ａｘ＋ｂ＝０となるｘの実数解は二つ。
じゃぁ、このグラフを、ｙ軸の正方向に、ゆっくり引き上げて、平行移動させてみましょう。
平行移動前の二つの解をｑ,ｒとすると、６(ｘ－ｑ)(ｘ－ｒ)＝０だったわけですが、平行移動させてやると(適当にグラフを描いてちゃんと見ながら考えること)、上に引き上げるにつれて、ｘ軸との両交点の幅が、狭くなっていくでしょう。
６{ｘ－(ｑ＋ｔ)}{ｘ－(ｒ－ｔ)}＝０で(ただしｑ＜ｒ)、ｔが少しずつ増えているはずです。どのくらいの割合で、という難しいことは置いておいて。
ずーっと引き上げていくと、どこかでｑ＋ｔ＝ｒ－ｔになるでしょう。そこでグラフはｙ軸と接するはずです。
グラフがｘ軸と離れず、跨がず、接する場合は、このように、６(ｘ－ｕ)²＝０、のような形で「重解します」。
その辺りの、
グラフがｘ軸と、二点で交わる、一点で接する、交わらない接しない、
ｙ＝０の実数解が、二つある、一つある(重解)、一つもない(虚数解)、
を見るのが、判別式Dです。
二次方程式の解の公式の、平方根の中身が判別式です。
平方根の中身が０であれば、～－ｂ～±√～～の平方根の中身が無くなるので、解は～～±～と二通りにならず、重解するのです。これが接している状態。
平方根の中身が正であれば、～～±～と実数解が二つ生まれますので、これが二点で交わる状態。
平方根の中身が負になれば、～～±(～ｉ～)と、虚数解になります。これがｘ軸とは接しない交わらない状態です。

という辺りを、理解するのは当然として、その手の問題がスラスラ解けるまで、基礎問題演習をまず繰り返して下さい。
たぶん理解しただけじゃできません。失敗しながら、何ができないのか、どこで手が止まるのか、失敗しながら問題点を洗い出して、それを埋めて下さい。
失敗しないようにガッチリ理解暗記するのが大事なのでは無く、失敗するところを洗い出した上で、失敗しながら修正していくことが重要です。
現状で三次式に手を広げても、二次式がちゃんとできないのだから、意味は無いのです。
今の勉強を改めない限り、テストでは何もできないということです。
勉強方法を間違えると、勉強していても何もできないのです。

元の三次式について少し触れておくと、
ｙ＝2ｘ³－ａｘ²＋ｂｘとすると、
＝ｘ(2ｘ²－ａｘ＋ｂ)
です。
ｘ＝０を代入したときに、ｙ＝０になる。つまり、原点を通る、ということです。
(2ｘ²－ａｘ＋ｂ)は二次関数ですので、解の公式を使うなりなんなりで、ｙ＝０となるｘの値、解を出し交点を出し因数分解をし、とここでもスラスラできなければなりません。
ｙ＝2ｘ³－ａｘ²＋ｂｘのグラフは、ｘ³の項の係数が正なので、基本的には左下から右上に抜けるような形状になります。
ただし、極値を二つ持つかどうか＝上に凸と下に凸の二つの瘤があるか無いか、という話があります。
二つの瘤を持つ場合、その瘤とｘ軸との関係がどうなっているのか。
二つの瘤のｙが大きい方(ｘが小さい方)よりｘ軸が更に上にあれば、三次式の実数解は一つ。
二つの瘤のｙが小さい方(ｘが大きい方)よりｘ軸が更に下にあれば、三次式の実数解は一つ。
どちらかの瘤とx軸とが接していれば、接しているところで重解、三次式の実数解は二つ。
二つの瘤の間にｘ軸があれば、三次式の実数解は三つ。
瘤を二つ持たない場合、三次式の実数解は一つ。
となります。
瘤付きのグラフを描いてみて、ｘ軸を鉛筆を横にして表し、それを上下させて、ｘ軸とグラフとがどういう関係ならどうか、上記を読みながら具体的に目で見て下さい。