線形代数 固有値

大学の線形代数で質問です
行列A固有多項式φ⒳＝(x-3)(x-1)(x+3)(x+1)があって
A^6をA^3、A^２、A、Eの一次結合で表したいんですがどうすればいいかわかりません
Aを固有多項式に代入したらケイリー・ハミルトンの定理でφ(A)＝０になると思うんですがA^6がなくてどうしようもなく詰まってしまいました
解法を教えてください
ちなみにこの問題の前の設問ではAの固有値、トレース、行列式の値、対角化可能かどうか調べよという問題がありましたが、おそらく関係してこないと思います

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/31 12:54

ー応修正(^^;

>A^6=A^2×A^6
A^6=A^2×A^4

>A^3とAは使わないんですね...
>何で問題文にあったんでしょうかね

係数0の項として一次結合には立派に参加してます。

この回答へのお礼

＞係数０の項として～
なるほど！そういう見方を思いつきませんでした
丁寧に答えてくださりありがとうございました。

お礼日時：2019/01/31 14:10

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/31 12:32

(x^2-9)(x^2-1)=x^4-10x^2+9 →A^4=10A^2-9E

A^6=A^2×A^6=A^2×(10A^2-9E)=10A^4-9A^2=10(10A^2-9E)-9A^2
=91A^2-90E

この回答へのお礼

A^3とAは使わないんですね...
何で問題文にあったんでしょうかね
納得しました、本当にありがとうございます！

お礼日時：2019/01/31 12:45