問題文はa+b≠2のとき A= a 1-a 1-b b 固有ベクトルを求める 固有値λ=1,a+b-

問題文はa+b≠2のとき
A= a 1-a
1-b b
固有ベクトルを求める

固有値λ=1,a+b-1

です。

文字が入った時の固有ベクトルの求め方が分かりません。
数字の時は、x=○y の形にしてたのですが
1-bが0の可能性があったらx=の形にできない？のではないのでしょうか？

y=-(1-b)tと置いたと思うのですが、そんなことできるのでしょうか

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/19 01:28

(1-b)x + (1-a)y = 0 に対して「1-b が 0 の『可能性がある』」というだけで x=... という形にできない, わけではない. 「可能性がある」というのは「必ずそうである」ということを意味しない. そして, 1-b が 0 でないときには x=... という形にできる.

あと「y=-(1-b)tと置いたと思うのですが、そんなことできるのでしょうか」と思ったということは, 「『できないのではないか』と感じている」ってことだよね. どうしてそのように感じた?

a+b≠2 という条件はどのように影響しているかな?

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/19 08:35

せっかくの線形代数なのですから

もっとベクトル的に考えた方が楽ですよ。

(1-b)x+(1-a)y=0
は
(1-b, 1-a)・(x, y)=0
と同じ。つまり
(1-b, 1-a)と(x, y)が垂直ということ。

(p, q)・t(q,-p)=tpq-tqp=0
を使うと垂直なベクトルは簡単に作れます。

「よって」でやってるのはこれ。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/19 03:18

＞ 数字の時は、x=○y の形にしてたのですが

ベクトルの向きを「傾き」で表すのは、
ベクトルが y軸に平行な場合を扱えないので
うまくいかない場合がある。

傾きではなくて、 x成分と y成分の比で表せば、
(1-b)x + (1-a)y = 0
(1-a)y = (b-1)x
x:y = (1-a):(b-1)　　；内項の積=外項の積
(x,y) = t(1-a,b-1)
と変形できる。

問題によっては、(x,y) = r(cosθ,sinθ) で
扱い易くなる場合もある。