3×3行列の固有値と固有ベクトル

以下の行列Aの固有ベクトルを求めようとしているのですが,解を見つけられないでいます.
2　1　0
1　2　0
0　0　-2
計算を進めた結果,固有値λは3,1,-2となり,λ=3,1に対応する固有ベクトルはそれぞれ[1,1,0]t,[1,-1,0]tとなったのですが,λ=-2の場合で求めた固有ベクトル[1,1,k]t(kは任意の実数)がAx=λxに対応しない値になってしまいます.私の計算に何か問題があるのでしょうか?

また,行列Aは対称行列なのでそれぞれの固有ベクトルの内積は0になると思うのですが,固有ベクトルの値が得られないことと何か関係があるのでしょうか?

回答よろしくお願いします.

No.3 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/04/13 15:10

＞固有値をλ、

|2-λ,1,0|
|1.2-λ,0|
|0,0,-2-λ|=0
(2-λ)*(2-λ)*(-2-λ)+1*0*0+0*0*1-0*(2-λ)*0-(2-λ)*0*0-1*1*(-2-λ)
=-(2+λ)(λ^2-4λ+3)=0、λ=-2,1,3
λ=-2の場合
|2+2,1,0|
|1,2+2,0|
|0,0,-2+2|
だから|A-λE|*(x,y,z)=0は
|4,1,0||x|
|1,4,0||y|
|0,0,0||z|=0
4x+y+0z=0
x+4y+0z=0
0x+0y+0z=0
x=y=0、z=t(任意の実数)
よって固有ベクトルはt*(0,0,1)
λ=1の場合
|1,1,0| |x|
|1,1,0| |y|
|0,0,-3||z|=0
x+y=0、-3z=0
x=t,y=-t,z=0
よって固有ベクトルはt*(1,-1,0)
λ=3の場合
|-1,1,0||x|
|1,-1,0||y|
|0,0,-5||z|=0
-x+y=0
x-y=0
-5z=0からx=y=t、z=0
よって固有ベクトルはt*(1,1,0)
固有ベクトルの内積
＞t*(0,0,1)・t*(1,-1,0)=0
t*(0,0,1)・t*(1,1,0)=0
t*(1,-1,0)・t*(1,1,0)=0

この回答へのお礼

お返事が遅れてしまいました。すみません。
λ=-2の時の計算をミスしていたようです。計算過程のご指摘ありがとうございました。

他のお二方も回答有難うございました。

お礼日時：2014/05/01 09:19

No.2 回答者： info222_ 回答日時： 2014/04/13 11:08

>λ=-2の場合で求めた固有ベクトル[1,1,k]t(kは任意の実数)がAx=λxに対応しない値になってしまいます.私の計算に何か問題があるのでしょうか?

λ=-2の場合、計算すると固有ベクトルは[0,0,1]t となるはずです。
計算ミスをしていませんか？

>固有ベクトルの内積は0になると思うのですが,
>固有ベクトルの値が得られないことと何か関係があるのでしょうか?
あるでしょう　→　つまり計算ミスをしていて正しい固有ベクトルではないからでしょう。

正しい固有ベクトル[0,0,1]t を使えば、他の２つの固有ベクトルとの内積はゼロになります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/04/13 02:25

はい, あなたの計算に何か問題があります.