正定値行列は正則行列

らしいのですが、証明法が思いつきません。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： totoro7683 回答日時： 2006/10/24 18:05

NO.1です。

>行列式がその固有値の積となる
がわかりませんでした。
とのことですが、
行列Aは適当な行列Pを取るとP^{-1}APがジョルダン標準形に変形することが出来ます。Det(P^{-1}AP)=DetAであり、Det{P^{-1}AP)は対角成分をかけたものであり、対角成分はAの固有値と一致します。

この回答へのお礼

なるほど！スッキリしました。
ありがとうございます。

お礼日時：2006/10/24 19:19

No.1 回答者： totoro7683 回答日時： 2006/10/24 15:27

正定値行列の固有値はすべて正です。

なぜなら０以下の固有値ｃがあるとするとその固有ベクトルをｖ（０でないとする）とすると
（Ａｖ，ｖ）＝ｃ｜ｖ｜＾２（ｃ＜０）となり正定であることに反するからです。行列式がその固有値の積となることから固有値がすべて正である行列は行列式が０でない。従って正則です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

>行列式がその固有値の積となる
がわかりませんでした。

お礼日時：2006/10/24 15:57