固有ベクトルが複数の場合

| 0 -1 1 |
| 0 1 0 |
|-2 -2 3 |
という行列の固有値と固有ベクトルを求めて対角化せよという問題なんですが、
固有値は1（重解）,2というのはわかって、
疑問に思ったのは固有ベクトルのほうなんですが、
解答には固有ベクトルは
(1) (0) (1)
(0) (1) (0)
(1) (1) (2)
となっていて、最初の二つは１に対する固有ベクトルとなっているんですが、
1に対する固有ベクトルは確かにその２つもあると思うんですが
(-1)
(1)
(0)
もある気がするんですがどうなんでしょうか？
１つの固有値に対しては２つ示せば十分なんでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/03/11 14:54

1に対する固有値の重複度2ですから固有値の一般形は

a(1,0,1)+b(0,1,1)=(a,b,a+b)
なので、自由度2（任意に選べる変数がa,bの2つ）ですから
が固有ベクトルは２つのみ一次独立です。ですから
固有ベクトルが出来るだけ簡単になるa,bを2通り与えて固有値1に対する
固有ベクトルは2つだけ求めてやれば良いです。
たとえば固有値1に対する固有ベクトルは(a,b)の値を適当に与えてやると固有ベクトルは以下のようにいくつでも出来ますが、どれか簡単そうな２つだけ示せばいいですね。
(a,b)=(1,0)→(1,0,1)
(a,b)=(0,1)→(0,1,1)
(a,b)=(1,-1)→(1,-1,0)
(a,b)=(-1,1)→(-1,1,0)
(a,b)=(2,-1)→(2,-1,1)
(a,b)=(1,1)→(1,1,2)

この回答へのお礼

わかりやすく説明していただきありがとうございます。
大体はわかったんですが、
最初の1に対する固有値の重複度２というのは何か計算する方法があるんでしょうか？

お礼日時：2009/03/11 15:30

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/03/11 16:37

#2です。

A#2の補足質問の回答
>最初の1に対する固有値の重複度２というのは何か計算する方法があるんでしょうか？
|A-tE|=-(t-2)(t-1)^2=0
でt=1が重解（２重解）で重複度２ということです。
(t-1)^3の因数があれば３重解で重複度３となります。
なお、重複度２以上の固有値の求め方は参考URLをご覧下さい。
参考URL
http://www.osakac.ac.jp/labs/mandai/writings/sd2 …

参考URL：http://ufcpp.net/study/linear/eigen.html#ddiagonal

この回答へのお礼

固有値を求めるときの乗数がそのまま重複度になるってことですね。
回答ありがとうございました。
他の方々もありがとうございました。

お礼日時：2009/03/11 17:10

No.2 回答者： KI401 回答日時： 2009/03/11 12:58

[1,0,1]も[0,1,1]も[-1,0,0]もある平面と平行なベクトル。

言い換えれば、その平面はこれらのうち２本のベクトルの一次結合で表せる。
# 固有値を入れて固有ベクトルを求めた時に、そのような式が出てくるはずだ。

実際、[0,1,1]=[1,0,1]+[-1,0,0]だから、この３本は一次従属で、同じ平面上に乗っていることが分かる。
一方どの２本をとっても一次独立なので、対角化のためにはどいつをとっても構わない。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/03/11 12:15

一個の固有値に対する固有ベクトルは

無限個存在します．
たとえば，その問題の2に対する固有ベクトルだって
(2 0 4)も固有ベクトルでしょう？
その固有値に対する固有空間の基底の要素を
もれなく求めよというのが
「固有値に対する固有ベクトルを求めよ」
という問題の意味．
普通は，固有ベクトルの成分が簡単なものを書くのがお約束．