二次形式の標準化で
直交行列Pをつかって
x=Pyなる変数変換をしたとき
txAx>0とかその最大最小が固有値の最大とか最小とか
議論するときに
tyΛyなる標準形 (ラムダは固有値にならべた行列)
をつかうことについて質問です。
xがyになるところで
変数変換においてxとyが対等なことはどうかんがえますか?
例えば積分で
∫xdxを∫ydyにしてもいいですけどそれは
xとyがおなじRとかに動くときで、
たかだか線形変換なら
R^n→R^n で
対等に考えていいということですか?
またPが正則だから同型写像になてることは関係ありますか??
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
あなたが「対等」という言葉をどんな意味で使っているのか、
定義とか説明とかしないと、質問が何言ってるのか判らない。
二次形式 (tx)Ax を考えるとき、
A は普通、対称行列(複素なら、エルミート行列)にとるから、
直交行列(複素なら、ユニタリ行列) P を使って
Λ = (P^-1)AP, Λ は対角行列, P^-1 = tP と変形できる。
対称行列のこの性質のため、
(tx)Ax = (tx)PΛ(tP)x = (t((tP)x))Λ((tP)x) = (ty)Λy, y = (tP)x
と変形できることになる。
だから、例えば、二次形式 3x₁^2 + 2x₁x₂ + 5x₂^2 を
(t(x₁ x₂))A(x₁ x₂),
A =
3 2
0 5
としてはダメで、
A =
3 1
1 5
と対称にしとく必要がある。
...ってことをふまえて、 A を Λ へ変換する行列 P には
実対称にせよエルミートにせよ P^-1 が存在する。
だから、 x から y への写像 y = (P^-1)x は全単射(一対一対応)
になっている。
あなたの「対等」というのが、この一対一対応のことを言っているなら、
「Pが正則だから同型写像になてることは関係あり」と言ってよい
のだと思う。
えと、、ちょっと違うかなって思いました?
私は関数のように最大とかを解析するときに
歪むとか、情報が変わっちゃうようなことがおきないと保証されるのはどうしてですか?と聞きたかったです。
例えば
x^2は R -> Rと考えれば全単射でもないけど
[0, ∞) -> [0, ∞) と考えれば上絵の一対一になってます。
No.2
- 回答日時:
> 歪むとか、情報が変わっちゃうようなことがおきないと保証されるのはどうして
意味不明な「対等」が意味不明な「情報」に置き換えられただけの気が...
変換 u = (tP)x で「歪む」ことがないのは、No.1 に書いたとおり、
A が実対称行列(複素なら、エルミート行列)である場合、
Λ = (P^-1)AP, Λ は対角行列 と変換する P は
直交行列(複素なら、ユニタリ行列)であることが判っているからです。
直交行列を表現行列に持つ一次変換は合同変換なので、
A と Λ の固有ベクトルは、座表平面上の配置が違うだけで
図形としては変化せず、長さや相互のなす角は変わりません。
また、変換 A→Λ=(tP)AP で A と Λ の固有値も変わらないので、
値域側も歪みません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 線形代数 正則 階数 3 2023/03/22 07:52
- 物理学 座標変換に関して質問です。参考書に 「力は一般に時間と場所によって異なるから力f(ベクトル)はx,y 3 2022/07/03 20:24
- 数学 線形代数 A= 2 -1 1 ( 0 0 2 ) 0 -1 3 の固有値と固有空間を使って、この行列 2 2023/02/03 12:39
- 数学 黄色マーカーの意味がよく分かりません。 X軸方向に4倍、Y軸方向に8倍に引き伸ばした らへんは何とな 3 2023/04/10 20:08
- 大学・短大 【線形代数について質問です】 点(4.3)を点(3.4)に写す1次変換のうち、原点を通る直線について 1 2023/06/11 14:29
- 計算機科学 二次形式 3 2022/12/19 16:29
- 数学 2*2の行列に対して固有値の最大実部を与えるkの値を求めたい 3 2022/11/08 16:26
- Java プログラミング Java 2 2024/01/26 23:24
- その他(OS) Windowsで大量の画像サイズを半自動で変更する方法 6 2023/02/17 08:45
- 数学 行列の2次形式の問題を教えてください! 4 2024/02/13 21:57
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
風水の観点で選ぶ観葉植物とは?置き場所や上げたい運気ごとの注意点を紹介!
観葉植物で運気をアップするコツを、風水デザイン1級建築士の福島昌彦さんに伺った。
-
ほかの解法を考えてみてください。
数学
-
すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法:ファイナル
数学
-
中二数学について質問です。 整数の性質のところで、nを整数とすると2の倍数は2n、3の倍数は3nなど
数学
-
-
4
数学Aの整数の性質について質問です。 ほぼほぼ背理法の質問かもしれないですが、 証明の、a+bとab
数学
-
5
不完全定理により、「ある命題が証明も否定もできなかったら、真理である場合がある。」と解釈してよろしい
数学
-
6
この問題の答えなのですが、関数電卓でいくら計算しても答えが0.0097になってしまうのですが、正しい
数学
-
7
普通ですか?
数学
-
8
おしえてgooに図形の問題を投稿したら、削除されました。なぜでしょう?
数学
-
9
自然数 整数 有理数 実数 加法 乗法 減法 除法 をペアノの公理から定義していくとき、どの順番が綺
数学
-
10
ベクトル解析についての質問です。 回答によると①が正しいとの事ですが、なぜですか? 自分の感覚的には
数学
-
11
イプシロンデルタ論法の定義についてですが、写真の青線部がわからないです。 0<を除いて|x-a|<δ
数学
-
12
もしかして
数学
-
13
(a、bは定数) z、x、yという変数があったときz=ax+byという式があったら微分形は(δz/δ
数学
-
14
命題がわかりません!!
数学
-
15
1+1/2+1/3+...+1/N = O(logN)
数学
-
16
正方行列Aについて
数学
-
17
自然定数を底にしたときの、log(π) の 手計算での値は
数学
-
18
数学の質問です。 (x-y-z+w)(x-y+z-w)において s=x-z t=z-wとおくと (s
数学
-
19
数検2級の問題のついてです。 どうしてc +1をするのでしょうか?1を足す意味がわかりません。教えて
数学
-
20
え整数の各桁をに錠してたすのをくりかえしたら
数学
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報