逆行列が存在する条件

行列Mについて、

「M>0であれば、Mの逆行列が存在する（Mの行列式はゼロではない）」
と言われたのですが、本当ですか？

まず、M>0とは、Mの全ての要素がプラスである、ということを意味するのでしょうか？

行列式がゼロでなければMの逆行列が存在する、というのは聞いたことがあったのですが、
それはM>0である、ということと同じなのでしょうか？

数学オンチですみませんが、よろしくお願いします。。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/14 20:56

M＞0 ってのは、M の各成分が ＞0 じゃなくて、

M が「正定値」だってこと。
重要な用語なんで、調べてみといてね。

正定値な行列は、固有値が全て ＞0 だから、
行列式の値も ＞0 になる。
行列式は、固有値の積だからね。

一方、逆行列が存在する必要十分条件は、
行列式の値が 0 でないこと。

M＞0 のほうが、ずっと強い制限だね。

No.2 回答者： sunflower-san 回答日時： 2013/02/14 09:03

それは、間違いです。

M>0であって逆行列が存在しないMの例は無数に作ることが出来ます。例えば全成分が1の2×2行列(n×nでも同じ)は行列式が0なので逆行列は存在しません。

「行列式が≠0」あるいは同じことですが、⇔「全ての行ベクトルが一次独立」⇔「全ての列ベクトルが一次独立」であることが逆行列が存在するための必要十分条件です。これは、M>0とは全く別の条件です。
（Mの次数が1、つまりスカラーのときは「M>0」⇒「det(M)=M≠0」ですから、逆行列(=逆数) は存在しますが、次数が2以上のときは「M>0」と「det(M)≠0」は独立した条件になります。）

No.1 回答者： eieitaro 回答日時： 2013/02/14 01:55

行列Mの逆行列が存在する条件は、

行列式の値が0でないときです。
記号で表すと、
det(M)≠0
または、| M |≠0

2x2行列
a b
c d
では、ad-bc≠0
のときです。
この逆行列は
1/(ad-bc){(d,-b),(-c,a)]
ですが、ad-bc=0
だったら、分母が0になり、計算不能になります。
つまり、逆行列が求められません。