No.2ベストアンサー
- 回答日時:
x↑=(x、y)
とすると
目的関数f(x、y)=3x^2+2xy+3y^2
束縛条件g(x、y)=x^2+y^2-1=0
ラグランジュの未定乗数をλとして
h(x、y、λ)=f(x、y)+λg(x、y)=(3+λ)x^2+2xy+(3+λ)y^2-λ=0
∂h/∂x=2(3+λ)x+2y=0 ①
∂h/∂y=2(3+λ)y+2x=0 ②
①×y-②×x→2y^2-2x^2=0 → y=±x
円上の点なので
(x, y)=(±1/√2、±1/√2) の4点が停留点
円上に停留点4個だから極小点2個と極大点2個なので
xとyが同符号→f(x、y)=4(極大値=最大値)
×とyが異符号→f(x、y)=2(極小値=最小値)
多分、x=cosθ、y=sinθとして地道にθで微分しても
解けると思う。
No.4
- 回答日時:
#3を訂正します
A
=
(3,1)
(1,3)
の
固有値2に対する固有ベクトル(1/√2,-1/√2)
固有値4に対する固有ベクトル(1/√2,1/√2)
だから
No.3
- 回答日時:
A
=
(3,1)
(1,3)
P
=
(1/√2.,1/√2)
(-1/√2,1/√2)
H
=
(2,0)
(0,4)
x=(cosθ;sinθ)
とすると
P^(-1)
=
(1/√2,-1/√2)
(1/√2,1/√2.)
=
(cos(π/4),-sin(π/4))
(sin(π/4),cos(π/4))
P^(-1)AP=H
A=PHP^(-1)
P^(-1)x=(cos(θ+π/4);sin(θ+π/4))
(tx)P=(cos(θ+π/4),sin(θ+π/4))
(tx)Ax
=
(tx)PHP^(-1)x
=
2{cos(θ+π/4)}^2+4{sin(θ+π/4)}^2
=
2+2{sin(θ+π/4)}^2
2≦2+2{sin(θ+π/4)}^2≦4
∴
2≦(tx)Ax≦4
sin(θ+π/4)=0のとき
θ=-π/4のとき
x1=(cosθ,sinθ)=(1/√2,-1/√2)
θ=3π/4のとき
x1=(cosθ,sinθ)=(-1/√2,1/√2)
最小値2
sin(θ+π/4)=1のとき
θ=π/4のとき
x2=(cosθ,sinθ)=(1/√2,1/√2)
θ=-7π/4のとき
x2=(cosθ,sinθ)=(-1/√2,-1/√2)
最大値4
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